Théorème de Parthasarathy

En mathématiques et plus précisément en théorie des jeux, le théorème de Parthasarathy est un théorème découvert par le mathématicien indien Thiruvenkatachari Parthasarathy.

Dans l'étude des jeux sur le carré unité^[Quoi ?], ce théorème est une généralisation du théorème du minimax de von Neumann.

Texte à traduire

Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :
It states that a particular class of games has a mixed value, provided that at least one of the players has a strategy that is restricted to absolutely continuous distributions with respect to the mesure de Lebesgue (in other words, one of the players is forbidden to use une stratégie pure).

Terminology: $X$ and $Y$ stand for the intervalle unité $[0,1]$ ; ${\mathcal {M}}_{X}$ is the set of mesures de probabilité on $X$ ; $A_{X}\subset {\mathcal {M}}_{X}$ est le sous-ensemble de celles qui sont absolument continues (${\mathcal {M}}_{Y}$ et $A_{Y}$ sont définis de même).

Theorem

Suppose that $k(x,y)$ is bounded on the unit square $0\leq x,y\leq 1$; further suppose that $k(x,y)$ is continue except possibly on a finite number of curves of the form $y=\phi _{k}(x)$ (with $k=1,2,\ldots ,n$) where the $\phi _{k}(x)$ are continuous functions.

Further suppose

$k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \lambda (y)\,\mathrm {d} \mu (x).$

Then

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).$

This is equivalent to the statement that the game induced by $k(\cdot ,\cdot )$ has a value. Note that the player $Y$ is forbidden from using a pure strategy.

Parthasarathy goes on to exhibit a game in which

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )$

which thus has no value.

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Traduction du texte anglais :
Ce théorème affirme qu'une classe particulière de jeux a des valeurs mixtes, ce qui fourni qu'au moins un des joueurs possèdent une stratégie restreinte aux distributions absolument continues pour la mesure de Lebesgue (en d'autres termes, l'un des joueurs ne peut utiliser de stratégie pure).

Terminologiquement parlant : Soit X=Y= [0;1] ; ${\mathcal {M}}_{X}$ l'ensemble des mesures de probabilité sur X et $A_{X}\subset {\mathcal {M}}_{X}$ le sous ensemble de celles absolument continues (${\mathcal {M}}_{Y}$ et $A_{Y}$ étant définis similairement)

Théorème

Supposons que k(.,.) soit bornée sur le carré unité $0\leq x,y\leq 1$; supposons de plus que k soit continue sauf éventuellement en un nombre quelconque mais fini de points d'une courbe de la forme $y=\phi _{k}(x)$ (avec $k=1,2,\ldots ,n$) où $\phi _{k}$ est une fonction continue.

Enfin supposons que

$k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,\mathrm {d} \lambda (y)\,\mathrm {d} \mu (x).$

Alors

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).$

Ce qui est équivalent a l'affirmation que le jeu induit par k( . , . ) a une valeur. Notons que le joueur Y est interdit d'utiliser une stratégie pure.

Parthasarathy parvient à exhiber un jeu dans lequel

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )$

qui n'a alors pas de valeurs.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Parthasarathy's theorem » (voir la liste des auteurs).
• (en) T. Parthasarathy, « On Games over the unit square », SIAM J. Appl. Math., vol. 19, n^o 2,‎ 1970, p. 473-476 (DOI 10.1137/0119047)