Théorème de Popescu
En algèbre commutative et en géométrie algébrique, le théorème de Popescu, formulé par Dorin Popescu en 1985 et 1986[1],[2] est le suivant[3] :
Théorème — Soit un anneau noethérien et soit une algèbre noethérienne sur . L'application canonique est un homomorphisme régulier si et seulement si est une limite directe de -algèbres lisses .
Exemple
modifierPar exemple, si est un anneau de Grothendieck local (par exemple, un anneau excellent local) et est sa complétion, alors l'application est régulière par définition et le théorème s'applique.
Démonstrations et extensions
modifierUne autre preuve du théorème de Popescu a été donnée par Tetsushi Ogoma[4], et une présentation du résultat a été donnée par Richard Swan[5].
Le théorème de Popescu a aussi été prouvé par une autre méthode, et quelque peu renforcé, par Mark Spivakovsky[6],[7].
Application
modifierLa démonstration usuelle du théorème d'approximation d'Artin (en) repose pour l'essentiel sur le théorème de Popescu.
Références
modifier- Dorin Popescu, « General Néron desingularization », Nagoya Mathematical Journal, vol. 100, , p. 97–126 (DOI 10.1017/S0027763000000246, MR 0818160)
- Dorin Popescu, « General Néron desingularization and approximation », Nagoya Mathematical Journal, vol. 104, , p. 85–115 (DOI 10.1017/S0027763000022698, MR 0868439)
- Brian Conrad et Aise Johan de Jong, « Approximation of versal deformations », Journal of Algebra, vol. 255, no 2, , p. 489–515 (DOI 10.1016/S0021-8693(02)00144-8, MR 1935511, lire en ligne), théorème 1.3.
- Tetsushi Ogoma, « General Néron desingularization based on the idea of Popescu », Journal of Algebra, vol. 167, no 1, , p. 57–84 (DOI 10.1006/jabr.1994.1175, MR 1282816)
- Richard Swan, Algebra and geometry (Taipei, 1995), vol. 2, Cambridge, MA, International Press, coll. « Lect. Algebra Geom. », (MR 1697953), « Néron–Popescu desingularization », p. 135–192
- Mark Spivakovsky, « A new proof of D. Popescu's theorem on smoothing of ring homomorphisms », Journal of the American Mathematical Society, vol. 12, no 2, , p. 381–444 (DOI 10.1090/s0894-0347-99-00294-5, MR 1647069, lire en ligne)
- Denis-Charles Cisinski et Frédéric Déglise, Triangulated Categories of Mixed Motives, coll. « Springer Monographs in Mathematics », (ISBN 978-3-030-33241-9, DOI 10.1007/978-3-030-33242-6, arXiv 0912.2110).