Théorème de Veblen-Young

En mathématiques, le théorème de Veblen-Young, prouvé par Oswald Veblen et John Wesley Young, exprime qu'un espace projectif de dimension au moins trois peut être construit comme l'espace projectif associé à un espace vectoriel sur un corps gauche.

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Les plans non-arguésiens donnent des exemples d'espaces projectifs de dimension deux qui ne proviennent pas d'espaces vectoriels sur des corps gauche, ce qui montre que l'hypothèse sur la dimension au moins égale à trois est nécessaire.

Jacques Tits a généralisé le théorème de Veblen-Young aux immeubles de Tits, en démontrant que les immeubles (sphériques) de rang au moins 3 proviennent de groupes algébriques^[1]^,^[2]^,^[3].

John von Neumann généralise le théorème de Veblen-Young à la géométrie continue (en) en démontrant qu'un treillis modulaire complémenté (en) d'ordre au moins 4 est isomorphe à l'ensemble des idéaux à droite d'un anneau de von Neumann régulier (en)^[4].

Énoncé

Un espace projectif S peut être défini de manière abstraite comme un ensemble P (les points) muni d'un ensemble L de parties de P (les droites), satisfaisant aux axiomes suivants :

deux points distincts p et q appartiennent à une droite unique ; on la note pq ;
(axiome de Veblen ou de Veblen-Young) si a, b, c, d sont des points distincts et si les droites ab et cd se coupent, alors les droites passant ac et bd se coupent également ;
toute droite contient au moins 3 points.

Le théorème s'énonce alors de la façon suivante.

Théorème de Veblen-Young — Tout espace projectif de dimension supérieure ou égale à 3 (c'est-à-dire qu'il contient au moins deux droites non sécantes) est isomorphe à l'espace projectif des droites dans un espace vectoriel sur un corps gauche K.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Veblen–Young theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ Jacques Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, Berlin-New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 386), 1974 (MR 0470099).
↑ Jacques Tits et Richard M. Weiss, Moufang polygons, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2002, x+535 p. (ISBN 978-3-540-43714-7, DOI 10.1007/978-3-662-04689-0, MR 1938841) : cet ouvrage reprend la classification de Tits et simplifie les démonstrations.
↑ Jacques Tits, « Immeubles de Type Affine », dans Luigi A. Rosati (éd.), Buildings and the Geometry of Diagrams, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1181), 1986, x+282 p. (ISBN 978-3-540-16466-1, DOI 10.1007/BFb0075514), p. 159-190 : cet article étend le théorème aux immeubles affines de rang supérieur ou égal à quatre.
↑ John von Neumann, Continuous geometry, Princeton University Press, coll. « Princeton Landmarks in Mathematics », 1998 (1^re éd. 1960) (ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174, lire en ligne).

Peter J. Cameron, Projective and polar spaces, vol. 13, London, Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, coll. « QMW Maths Notes », 1992 (ISBN 978-0-902480-12-4, MR 1153019, lire en ligne)
Oswald Veblen et John Wesley Young, « A set of assumptions for projective geometry », American Journal of Mathematics, vol. 30, n^o 4,‎ 1908, p. 347-380 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2369956, JSTOR 2369956, MR 1506049)
Oswald Veblen et John Wesley Young, Projective geometry Volume I, Ginn and Co., Boston, 1910 (ISBN 978-1-4181-8285-4, MR 0179666, lire en ligne)
Oswald Veblen et John Wesley Young, Projective geometry Volume II, Ginn and Co., Boston, 1917 (ISBN 978-1-60386-062-8, MR 0179667, lire en ligne)

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[1] Jacques Tits, Buildings of spherical type and finite BN-pairs, Berlin-New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 386), 1974 (MR 0470099).

[2] Jacques Tits et Richard M. Weiss, Moufang polygons, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2002, x+535 p. (ISBN 978-3-540-43714-7, DOI 10.1007/978-3-662-04689-0, MR 1938841) : cet ouvrage reprend la classification de Tits et simplifie les démonstrations.

[3] Jacques Tits, « Immeubles de Type Affine », dans Luigi A. Rosati (éd.), Buildings and the Geometry of Diagrams, Berlin, Heidelberg, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1181), 1986, x+282 p. (ISBN 978-3-540-16466-1, DOI 10.1007/BFb0075514), p. 159-190 : cet article étend le théorème aux immeubles affines de rang supérieur ou égal à quatre.

[4] John von Neumann, Continuous geometry, Princeton University Press, coll. « Princeton Landmarks in Mathematics », 1998 (1^re éd. 1960) (ISBN 978-0-691-05893-1, MR 0120174, lire en ligne).

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