Théorème de Yan

Le théorème de Yan est un résultat mathématique de la théorie des probabilités et un théorème pour l'espace L^p et un théorème de séparation et d'existence d'un intérêt particulier pour les mathématiques financières. En mathématiques financières, le théorème peut être utilisé pour la preuve du théorème fondamental de l'évaluation des actifs.

Le théorème porte le nom du mathématicien chinois Jia-An Yan. Yan a prouvé le théorème pour l'espace L^p, de Jean-Pascal Ansel vient la généralisation au cas $1\leq p<+\infty$.

Théorème de Yan

Soient:

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ un espace de probabilité.

$B_{+}$ l'espace des variables aléatoires non négatives et bornées.

$I_{A}$ une fonction caractéristique de $A\in {\mathcal {F}}$.

$1\leq p<+\infty$ et $K\subseteq L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ un sous-ensemble convexe avec $0\in K$.

$q$ est l'exposant conjugué de $p$, c'est $q^{-1}:=1-p^{-1}$.

$K-B_{+}:=\{f-g:f\in K,\;g\in B_{+}\}$.

Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout $f\in L_{+}^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ avec $f\neq 0$ il existe une constante $c>0$ de sorte que $cf\not \in {\overline {K-B_{+}}}$.
2. Pour tout $A\in {\mathcal {F}}$ avec $P(A)>0$ il existe une constante $c>0$ telle que $cI_{A}\not \in {\overline {K-B_{+}}}$.
3. Il existe une variable aléatoire $Z\in L^{q}$ telle que $Z>0$ presque sûrement et

$\sup \limits _{Y\in K}\mathbb {E} [ZY]<+\infty$.