Propriété de la borne supérieure

propriété

En mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes.

On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet[1].

Définition

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Soit un ensemble ordonné (partiellement ou totalement). Cet ensemble possède la propriété de la borne supérieure (resp. inférieure) si pour tout sous-ensemble non vide qui possède un majorant (resp. minorant) alors possède une borne supérieure (resp. inférieure).

Propriétés

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  • Un ensemble ordonné possède la propriété de la borne supérieure si et seulement si il possède la propriété de la borne inférieure.
  • Si est un ensemble totalement ordonné et Dedekind complet, alors les intervalles de (c'est-à-dire les sous-ensembles vérifiant ) sont exactement les ensembles de la forme où par exemple et .

Exemples

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  • Un treillis complet est Dedekind complet puisque chaque sous-ensemble (vide ou non, majoré ou non, minoré ou non) possède une borne inférieure et supérieure.
  • L'ensemble des nombres réels est Dedekind complet[2].
  • L'ensemble des nombres rationnels n'est pas Dedekind complet.

Notes et références

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  1. A F Monna, « Ordre, pseudo-ordre, primes et convexité », Indagationes Mathematicae (Proceedings), vol. 74,‎ , p. 181-190 (lire en ligne)
  2. Daniele Faenzi, « Notes de cours d’analyse », sur dfaenzi.perso.math.cnrs.fr.

Voir aussi

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