Théorème du sandwich (variante)

Ceci est un théorème qui concerne les dérivées (ou différentielles) de fonctions à valeurs réelles, et qui se déduit du théorème du sandwich usuel — ou théorème des gendarmes — de passage à la limite dans un encadrement.

Énoncé

Cas d'une fonction d'une variable réelle

Théorème — Soit $I$ un intervalle contenant le réel $a$. Soient $f$, $m$ et $M$ trois fonctions réelles définies sur $I$.

On suppose que :

1. $\forall x\in I\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)$ ;
2. $m(a)=f(a)=M(a)$ ;
3. $m$ et $M$ sont dérivables en $a$ et $m'(a)=M'(a)$.

Alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=m'(a)\ (=M'(a))$.

Cas général

Théorème — Soit $V$ un voisinage d'un vecteur $a$ d'un espace vectoriel normé. Soient $f$, $m$ et $M$ trois fonctions réelles définies sur $V$.

On suppose que :

1. $\forall x\in V\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)$ ;
2. $m(a)=f(a)=M(a)$ ;
3. $m$ et $M$ sont différentiables en $a$ et ${\rm {d}}m_{a}={\rm {d}}M_{a}$.

Alors $f$ est différentiable en $a$ et ${\rm {d}}f_{a}={\rm {d}}m_{a}\ (={\rm {d}}M_{a})$.

Démonstration (du cas général)

Pour $h$ suffisamment petit,

$m(a+h)\leq f(a+h)\leq M(a+h)$

d'où (par les hypothèses 2 et 3)

$m(a+h)-m(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)\leq f(a+h)-f(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)\leq M(a+h)-M(a)-{\rm {d}}M_{a}(h)$

donc

$f(a+h)-f(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)=o(\lVert h\rVert )$,

d'où le résultat.