Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes $f:G\to G'$, on peut rendre $f$ injectif en quotientant $G$ par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.

Premier théorème d'isomorphisme —  Soit $f:G\rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $f$ induit un isomorphisme ${\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f$.

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme $f$ se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme —  Soient $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe normal de $G$ et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $H\cap N$ est un sous-groupe normal de $H$, et on a l'isomorphisme suivant :

$H/(H\cap N)\simeq HN/N.$

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de $N$ contient $H$ (au lieu de le supposer égal à $G$ tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient $G$ un groupe et $N$ et $M$ deux sous-groupes normaux de $G$ tels que $M$ soit inclus dans $N$. Alors $N/M$ est un sous-groupe normal de $G/M$ et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

Notes et références

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

Articles connexes

• Théorème de factorisation
• Théorème de correspondance
• Lemme de Zassenhaus