Théorème de König (théorie des ensembles)

Le théorème de Kőnig en théorie des ensembles est dû au mathématicien hongrois Julius Kőnig (1849-1913).

Théorème de Kőnig

Il se démontre à l'aide de l'axiome du choix (auquel il est en fait équivalent) et s'énonce ainsi :

Théorème — Soient $(a_{i})_{i\in I}$ et $(b_{i})_{i\in I}$ deux familles de cardinaux indexées par un même ensemble $I$ telles que pour tout élément $i$ de $I$, $a_{i}<b_{i}$. On a alors :

$\qquad \sum _{i\in I}a_{i}<\prod _{i\in I}b_{i}$.

Démonstration

Soit de tels $(a_{i})_{i\in I}$, $(b_{i})_{i\in I}$ et $I$.

Posons $R$ la réunion $R:=\bigcup _{i\in I}(a_{i}\times \{i\})$ puis $P$ le produit cartésien $P:=\prod _{i\in I}b_{i}$. On cherche à établir l'inégalité ${\text{card}}(R)<{\text{card}}(P)$. $\,$

D'une part, on introduit $f$ la fonction de $R$ dans $P$ définie par

$(\forall i\in I)(\forall \alpha \in a_{i})f(\alpha ,i)=\left(j\in J\mapsto {\begin{cases}\alpha {\text{ si }}j=i,\\a_{j}{\text{ sinon}}\end{cases}}\right).$ Cette fonction est clairement injective de $R$ dans $P$. Donc, une première inégalité vient : ${\text{card}}(R)\leqslant {\text{card}}(P)$. $\,$

Cherchons d'autre part à raffiner l'inégalité. Soit $(P_{i})_{i\in I}$ une suite (quelconque) de parties de $P$ satisfaisant $(\forall i\in I){\text{card}}(P_{i})\leqslant a_{i}$. Amenons pour tout $i$ dans $I$ une projection ${\text{pr}}_{i}(P_{i})$ de $P_{i}$ dans $b_{i}$, dont l'image est ainsi un sous-ensemble propre de $b_{i}$. L'axiome du choix assure en ces conditions l'existence d'une suite de choix $(p_{i})_{i\in I}$ dans le produit $P$ telle que $(\forall i\in I)p_{i}\notin {\text{pr}}_{i}(P_{i})$. Une telle suite n'appartient à aucun $P_{i}$, pour $i$ dans $I$, ce qui montre que $\bigcup _{i\in I}P_{i}\subsetneq P$. On peut conclure sur la négation ainsi donnée de l'égalité $\sum _{i\in I}a_{i}=\prod _{i\in I}b_{i}$. C.Q.F.D.

Corollaire

Corollaire — La puissance du continu n'est pas la somme d'une famille dénombrable de cardinaux strictement plus petits.

Démonstration

ℝ^ℕ étant équipotent à ℝ, il suffit d'appliquer le théorème de König avec $I=\mathbb {N}$ et $\forall i\in I\quad b_{i}=\mathbb {R}$.

Dans le système ZFC (de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix), ce théorème est le résultat le plus fin concernant la taille du continu (voir également le théorème d'Easton).