Probabilité libre

La théorie des probabilités libres est une théorie mathématique qui étudie des variables aléatoires non commutatives. La notion de « liberté » ou la propriété d'« indépendance libre » est l'analogue de la notion classique d'indépendance en probabilités, et elle est liée aux produits libres.

Génèse

Cette théorie a été initiée par Dan Voiculescu vers 1986 afin d'aborder le problème de l'isomorphisme des facteurs de groupes libres, un problème important non résolu dans la théorie des algèbres d'opérateurs. Étant donné un groupe libre sur un certain nombre de générateurs, on peut considérer l'algèbre de von Neumann engendrée par l'algèbre de groupe, qui est un facteur de type II₁. Le problème d'isomorphisme demande si ceux-ci sont isomorphes pour un certain nombre de générateurs. On ne sait même pas si deux facteurs de groupe libres sont isomorphes. Ce problème est similaire au problème des groupes libres de Tarski qui demande si deux groupes libres de type fini non abéliens différents ont la même théorie élémentaire.

Ultérieurement, des connexions ont été établies avec la théorie des matrices aléatoires, la combinatoire, les représentations de groupes symétriques, le principe de grandes déviations, la théorie de l'information quantique.

Description

Dans cette théorie, les variables aléatoires se trouvent en général dans une algèbre unitaire $A$ comme une C*-algèbre ou une algèbre de von Neumann. L'algèbre est munie d'une espérance non commutative qui est une forme linéaire $\varphi :A\to \mathbb {C}$ telle que $\varphi (1)=1$.

Les sous-algèbres unitaires $A_{1},\ldots ,A_{m}$ sont dites librement indépendantes si l'espérance du produit $a_{1}\cdots a_{n}$ est nulle chaque fois que tous les $a_{j}$ ont une espérance nulle, si elle est dans un $A_{k}$, si aucun $a_{j}$ adjacent ne provient de la même sous-algèbre $A_{k}$, et si $n$ est non nul. Les variables aléatoires sont librement indépendantes si elles génèrent des sous-algèbres unitaires librement indépendantes.

L'un des objectifs (non encore atteint) de la théorie de probabilité libre était de construire de nouveaux invariants des algèbres de von Neumann ; et la dimension libre est considérée comme un candidat raisonnable pour un tel invariant. Le principal outil utilisé pour la construction de la dimension libre est l'entropie libre.

Développements

La relation entre la probabilité libre et les matrices aléatoires est l'une des principales raisons de la large utilisation de la probabilité libre dans d'autres contextes. Voiculescu a introduit le concept de liberté vers 1983 dans un contexte algébrique d'opérateurs ; au début, il n'y avait aucune relation avec les matrices aléatoires. Cette connexion n'a été découverte que plus tard en 1991 par Voiculescu ; elle provient du fait que la distribution limite observée par Voiculescu dans son théorème de la limite centrale libre est apparue auparavant dans la loi du demi-cercle de Wigner dans le contexte d'une matrice aléatoire.

La fonctionnelle cumulante libre, introduite par Roland Speicher joue un rôle majeur dans la théorie. Elle est liée au treillis des partitions non croisées de l'ensemble { 1, ..., n } de la même manière que la fonctionnelle cumulante classique est liée au treillis de toutes les partitions de cet ensemble.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Free probability » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Dan-Virgil Voiculescu, Nicolai Stammeier et Moritz Weber (éditeurs), Free Probability and Operator Algebras, Société mathématique européenne, coll. « Münster Lectures in Mathematics », 2016, 142 p. (ISBN 978-3-03719-165-1, présentation en ligne)
• James A. Mingo et Roland Speicher, Free Probability and Random Matrices, New York, Springer Verlag, coll. « Fields Institute Monographs » (n^o 35), 2017, xiv + 336 (ISBN 978-1-4939-6942-5, présentation en ligne).
• Alexandru Nica et Roland Speicher, Lectures on the combinatorics of free probability, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 335), 2006, xv + 417 (ISBN 978-0-521-85852-6, DOI 10.1017/cbo9780511735127).
• Fumio Hiai et Denis Petz, The semicircle law, free random variables, and entropy, American Mathematical Society, 2000 (ISBN 0-8218-2081-8)

• Dan-Virgil Voiculescu et Alexandru Nica, Free random variables : a noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras, and harmonic analysis on free groups, American Mathematical Society, coll. « CRM Monograph Series I. », 1992 (ISBN 0-8218-6999-X)

• Terence Tao, « 254A, Notes 5: Free probability » (10 février, 2010), Notes de cours for graduate course on "Topics in random matrix theory"
• Roland Speicher, « Free Probability Theory », Notes de cours.

Liens externes

• « Voiculescu reçoit le prix NAS en mathématiques » — contient une description lisible de la probabilité libre.
• RMTool — Un calculateur de probabilité gratuit basé sur MATLAB.
• Blog de Roland Speicher sur a probabilité libre
• Un cours enregistrés sur les probabilités libres
• Pierre Tarrago, « Probabilités libres » — Un court exposé.

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