Équations de Hamilton-Jacobi

En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques

Une transformation canonique est une transformation $(\vec{q}, \vec{p}) \to (\vec{Q}, \vec{P}), H (\vec{q}, \vec{p}) \to K (\vec{Q}, \vec{P})$ de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques : $\dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial \vec{p}} \to \dot{\vec{Q}} = \frac{\partial K}{\partial \vec{P}}; \dot{\vec{p}} = - \frac{\partial H}{\partial \vec{q}} \to \dot{\vec{P}} = - \frac{\partial K}{\partial \vec{Q}}$ .

(On note $\frac{\partial}{\partial \vec{x}} = {\vec{\nabla}}_{\vec{x}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_{i}} {\vec{e}}_{i}$ où $\vec{x} = \sum_{i = 1}^{N} x_{i} {\vec{e}}_{i}$ .)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

${Q_{α}, P_{β}} = δ_{α β}$

${Q_{α}, Q_{β}} = 0$

${P_{α}, P_{β}} = 0$

Fonctions génératrices

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

$S [\vec{q}, \vec{p}] = \int d t L (\vec{q}, \dot{\vec{q}}, t) = \int d t (\vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - H (\vec{q}, \vec{p}, t)) = \int d t f (\dot{\vec{q}}, \vec{q}, \vec{p}, t) .$

Or les équations canoniques vérifiées par $H (\vec{q}, \vec{p})$ impliquent que $f$ vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial f}{\partial \dot{\vec{q}}}) - \frac{\partial f}{\partial \vec{q}} = \frac{d}{d t} (\vec{p}) + \frac{\partial H}{\partial \vec{q}} = \dot{\vec{p}} - \dot{\vec{p}} = \vec{0};$

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial f}{\partial \dot{\vec{p}}}) - \frac{\partial f}{\partial \vec{p}} = \frac{d}{d t} (\vec{0}) - (\dot{\vec{q}} - \frac{\partial H}{\partial \vec{p}}) = - \dot{\vec{q}} + \dot{\vec{q}} = \vec{0} .$

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si $H (\vec{q}, \vec{p})$ vérifie les équations canoniques, et de même pour $K (\vec{Q}, \vec{P})$ . On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

$δ (\int d t (\vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - H)) = 0, δ (\int d t (\vec{P} \cdot \dot{\vec{Q}} - K)) = 0$

d'où la condition dite d'invariance :

$(\vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - H) - (\vec{P} \cdot \dot{\vec{Q}} - K) = \frac{d F}{d t} (\vec{q}, \vec{p}, \vec{Q}, \vec{P}, t) .$

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation $(\vec{q}, \vec{p}) \to (\vec{Q}, \vec{P}), H (\vec{q}, \vec{p}) \to K (\vec{Q}, \vec{P})$ .

Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi

On note N le nombre de degrés de liberté du système, $(\vec{q}, \vec{p}, \vec{Q}, \vec{P})$ représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation $(\vec{q}, \vec{p}) \to (\vec{Q}, \vec{P})$ . On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables $(\vec{q}, \vec{P})$ , on a une fonction génératrice $S (\vec{q}, \vec{P})$ que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de $(\vec{q}, \vec{P})$ , il faut appliquer une transformation de Legendre à $F$ : $S (\vec{q}, \vec{P}) = F + \vec{Q} \cdot \vec{P}$ .

On a alors $\frac{d S}{d t} = \frac{d F}{d t} + \dot{\vec{Q}} \cdot \vec{P} + \vec{Q} \cdot \dot{\vec{P}} = \frac{\partial S}{\partial \vec{q}} \cdot \dot{\vec{q}} + \frac{\partial S}{\partial \vec{P}} \cdot \dot{\vec{P}} + \frac{\partial S}{\partial t}$

et la condition d'invariance devient

$(\vec{p} - \frac{\partial S}{\partial \vec{q}}) \cdot \dot{\vec{q}} + (\vec{Q} - \frac{\partial S}{\partial \vec{P}}) \cdot \dot{\vec{P}} + (- H + K - \frac{\partial S}{\partial t}) = 0.$

On a choisi $(\vec{q}, \vec{P})$ comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :

$\vec{p} - \frac{\partial S}{\partial \vec{q}} = \vec{0}$ ;

$\vec{Q} - \frac{\partial S}{\partial \vec{P}} = \vec{0}$ ;

$- H + K - \frac{\partial S}{\partial t} = 0$ .

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation $(\vec{q}, \vec{p}) \to (\vec{Q}, \vec{P})$ à partir de la donnée de la fonction $S (\vec{q}, \vec{P})$ , et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

H (\vec{q}, \frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = K

.

Application

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant $K = 0$ , on a simplement $\dot{\vec{Q}} = \vec{0}$ et $\dot{\vec{P}} = \vec{0}$ , soit $\vec{Q}$ et $\vec{P}$ constants. Il reste alors à déterminer $(\vec{Q} (\vec{q}, \vec{p}), \vec{P} (\vec{q}, \vec{p}))$ pour obtenir la solution $(\vec{q} (t), \vec{p} (t))$ , or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

H (\vec{q}, \frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, t) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.

Remarque: Dans ce cas, la condition d'invariance devient $\vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - H = \frac{d S}{d t} \Rightarrow S = \int L d t$ . La fonction génératrice $S$ est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique $H (\vec{q}, \vec{p}, t) = \frac{{\vec{p}}^{2}}{2 m} + V (\vec{q}, \vec{p}, t)$ , on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

$\frac{\partial S}{\partial t} = - H (\vec{q}, \frac{\partial S}{\partial \vec{q}}) = - E = c o n s t a n t e$

d'où

$S = S_{0} (\vec{q}, \vec{p}) - E t$

et l'équation à résoudre est simplifiée :

$H (\vec{q}, \frac{\partial S_{0}}{\partial \vec{q}}) - E = 0.$

Articles connexes

Liens externes

Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
- Gran Enciclopèdia Catalana
- Nationalencyklopedin

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