Théorème de Borel-Lebesgue

En topologie de $ℝ^{n}$ , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes^[1] d'un ensemble $A$ de vecteurs :

$A$ est fermé et borné ( $A$ est borné s'il existe un réel positif majorant la norme de tous les éléments de $A$ ) ;
$A$ est compact, c'est-à-dire^[2] qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de $ℝ^{n}$ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

L'essentiel du théorème est :

tout fermé borné de

ℝ^{n}

est compact

car la réciproque est immédiate^[3].

Ce théorème se généralise à tout $ℝ$ -espace vectoriel normé de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.

Démonstration

Le segment $[a; b]$ est compact.
Soit $(U_{i})_{i \in I}$ un recouvrement ouvert du segment $[a; b]$ . On considère l'ensemble $F$ des points $x$ de $[a; b]$ tels que $[a; x]$ est recouvert par un nombre fini d'ouverts $U_{i}$ . Comme $F$ est non vide (il contient $a$ ) et inclus dans $[a; b]$ , il admet une borne supérieure $m \in [a; b]$ . Cette borne $m$ appartient à un $U_{i}$ . Il existe alors $ε \in ℝ_{+}^{*}$ tel que le segment $V = [m - ε; m + ε] \cap [a; b] = : [c; d]$ soit inclus dans $U_{i}$ . Puisque $m$ est adhérent à $F$ , $V$ rencontre $F$ , en un point $x$ . En ajoutant U_i au recouvrement fini de $[a; x]$ , on obtient un recouvrement fini de $[a; d]$ , donc $d \in F$ , donc $m \geq d = min (m + ε; b)$ , donc $b = d \in F$ .
Un produit fini de segments est compact^[4].
Ce résultat se déduit du lemme du tube, d'après lequel tout produit fini de compacts est compact^[5].
Tout fermé borné de $ℝ^{n}$ est compact.
En effet, c'est un fermé d'un produit de segments donc d'un compact, or tout fermé d'un compact est compact.

Contre-exemple en dimension infinie

Article détaillé : Théorème de compacité de Riesz.

Considérons l'espace vectoriel $ℝ [X]$ des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme d'un polynôme le maximum des valeurs absolues respectives de ses coefficients. Soit $B$ la boule unité fermée. Elle est clairement fermée et bornée. Cependant, les éléments $X^{n}$ pour $n \in ℕ$ de $B$ sont à distance $1$ les uns des autres donc forment une suite sans sous-suite convergente donc ici sans valeur d'adhérence, ce qui empêche $B$ d'être compacte.

Bibliographie

(en) N. R. Andre, S. M. Engdahl, A. E. Parker, « An Analysis of the First Proofs of the Heine-Borel Theorem », sur www.maa.org, août 2013 (consulté le 9 juillet 2021)

Notes

↑ À la suite de ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de $ℝ^{n}$ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de $ℝ^{n}$ est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue. Une autre approche est de définir les compacts, dans $ℝ^{n}$ , comme les parties séquentiellement compactes : le fait que ces parties sont exactement les fermés bornés est élémentaire.
↑ Plus précisément : $A$ est dit quasi-compact s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et compact s'il est de plus séparé, mais dans $ℝ^{n}$ qui est séparé, ces deux notions sont équivalentes.
↑ Dans un espace séparé, tout compact est fermé et dans un espace métrique, il est de plus borné car précompact.
↑ Une démonstration de cette propriété et de ses conséquences pour la topologie de $ℝ^{n}$ dans S. Lang, Analyse réelle, Paris, InterÉditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 33.
↑ Le théorème de Tychonov, bien plus difficile, montre qu'un produit quelconque de compacts est compact.

Articles connexes

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[1] À la suite de ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de $ℝ^{n}$ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de $ℝ^{n}$ est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue. Une autre approche est de définir les compacts, dans $ℝ^{n}$ , comme les parties séquentiellement compactes : le fait que ces parties sont exactement les fermés bornés est élémentaire.

[2] Plus précisément : $A$ est dit quasi-compact s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et compact s'il est de plus séparé, mais dans $ℝ^{n}$ qui est séparé, ces deux notions sont équivalentes.

[3] Dans un espace séparé, tout compact est fermé et dans un espace métrique, il est de plus borné car précompact.

[4] Une démonstration de cette propriété et de ses conséquences pour la topologie de $ℝ^{n}$ dans S. Lang, Analyse réelle, Paris, InterÉditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 33.

[5] Le théorème de Tychonov, bien plus difficile, montre qu'un produit quelconque de compacts est compact.

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