Théorème de Commandino

Le théorème de Commandino, nommé d'après Federico Commandino (1509-1575), établit que les quatre médianes d'un tétraèdre sont concourantes en un même point S, qui les divise dans un rapport de 3:1. Dans un tétraèdre, une médiane est un segment de droite qui relie un sommet au centre de gravité de la face opposée – c’est-à-dire au centre de gravité du triangle opposé. Le point S est également le centre de gravité du tétraèdre^[1].

Histoire

Le théorème est attribué à Commandino, qui affirme, dans son ouvrage De Centro Gravitatis Solidorum (Le Centre de gravité des solides, 1565), que les quatre médianes du tétraèdre sont concourantes. Cependant, selon l'érudit du XIX^e siècle Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) affirme avoir trouvé ce résultat plus tôt. Libri pense néanmoins que Léonard de Vinci le connaissait encore avant, et qu'il semble l'avoir utilisé dans son œuvre. Julian Coolidge partage cette affirmation, mais précise qu'il n'a trouvé aucune description explicite ni aucun traitement mathématique du théorème dans les œuvres de Léonard de Vinci. D'autres chercheurs ont émis l'hypothèse que ce résultat était peut-être déjà connu des mathématiciens grecs de l'Antiquité^[2].

Généralisations

Le théorème de Commandino peut être étendu de façon analogue directe pour les simplexes de toute dimension^[3]:

Soit

Δ

un

d

-simplexe de dimension

d > 1

dans

ℝ^{n} (d, n \in ℕ, n \geq d)

et soient

V_{0}, V_{1}, \dots, V_{p}

ses sommets. De plus, soient

ℓ_{0}, ℓ_{1}, \dots, ℓ_{d}

, les médianes de

Δ

, les droites reliant chaque sommet

V_{i}

avec le centre de gravité du

(d - 1)

-simplexe opposé

V_{0} \dots V_{i - 1} V_{i + 1} \dots V_{d}

. Ces droites se croisent alors en un même point

S

, dans un rapport de

d : 1

.

Généralités complètes

L'analogie précédente peut être déduite du résultat plus général suivant, qui est analogue à la façon dont fonctionnent les leviers en physique :

Soient

m

et

k

deux entiers positifs, tels que dans un

ℝ

- espace vectoriel

𝒱

,

m + k

points différents deux à deux

X_{1}, \dots, X_{m}, Y_{1}, \dots, Y_{k} \in 𝒱

sont donnés.

Soient

S_{X}

le centre de gravité des points

X_{i} (i = 1, \dots, m)

, et

S_{Y}

le centre de gravité des points

Y_{j} (j = 1, \dots, k)

et soit

S

le centre de gravité de tous ces

m + k

points.

Ainsi, on a

S = S_{X} + \frac{k}{m + k} (S_{Y} - S_{X}) = \frac{m}{m + k} S_{X} + \frac{k}{m + k} S_{Y} .

En particulier, le centre de gravité

S

se trouve sur la droite

\overline{S_{X} S_{Y}}

et le divise dans un rapport de

k : m

.

Théorème de Reusch

Le théorème précédent a d'autres conséquences intéressantes que la généralisation mentionnée supra du théorème de Commandino. Il peut être utilisé pour démontrer le théorème suivant concernant le centre de gravité d'un tétraèdre, décrit pour la première fois dans les Mathematische Unterhaltungen par le physicien allemand Friedrich Eduard Reusch (de) :

On peut construire le centre de gravité d'un tétraèdre en prenant les milieux de deux paires de ses côtés opposés et en reliant ses milieux par leur médiatrice. L'intersection de ses médiatrices est le centre de gravité du tétraèdre.

Puisqu'un tétraèdre possède six arêtes dans trois paires opposées, on obtient le corollaire suivant :

Dans un tétraèdre, les trois médiatrices des segments formés par les milieux de deux côtés opposés sont concourantes, et leur intersection est le centre de gravité du tétraèdre.

Théorème de Varignon

Un cas particulier du théorème de Reusch où les quatre sommets d'un tétraèdre sont coplanaires et se trouvent sur un seul plan, dégénérant ainsi en un quadrilatère, le théorème de Varignon, du nom de Pierre Varignon, énonce ce qui suit :

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commandino's theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Mathematical Space Odyssey : Solid Geometry in the 21st Century, Washington, Mathematical association of America, 2015, 272 p. (ISBN 9780883853580), p. 97–98
↑ (en) Howard Eves, Great Moments in Mathematics (before 1650), MAA, 1983 (ISBN 9780883853108), p. 225
↑ (de) Egbert Harzheim, Einführung in die kombinatorische Topologie, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1978, 33 p. (ISBN 3-534-07016-X)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Commandino's Theorem », sur MathWorld
A Couple of Nice Extensions of the Median Properties

Portail de la géométrie

[1] (en) Claudi Alsina et Roger B. Nelsen, A Mathematical Space Odyssey : Solid Geometry in the 21st Century, Washington, Mathematical association of America, 2015, 272 p. (ISBN 9780883853580), p. 97–98

[2] (en) Howard Eves, Great Moments in Mathematics (before 1650), MAA, 1983 (ISBN 9780883853108), p. 225

[3] (de) Egbert Harzheim, Einführung in die kombinatorische Topologie, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1978, 33 p. (ISBN 3-534-07016-X)

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