Théorème de Frisch-Waugh

Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.

Théorème de Frisch-Waugh

Type	Théorème
Nommé en référence à	Ragnar Frisch, Waugh Frederick Vail (en), Michael C. Lovell

Ragnar Frisch

Formalisation

Soit le modèle de régression linéaire suivant :

$Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!$

avec $X_{1}$ et $X_{2}$ deux matrices de taille $n\times k_{1}$ et $n\times k_{2}$.

D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients $\beta _{2}$ sera la même que dans le modèle linéaire suivant :

$M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,$

avec $M_{X_{1}}$ la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de $X_{1}$ :

$M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'.\!$

Démonstration

Equations normales :

- 1er groupe : $X_{1}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}{\hat {\beta }}_{2})=0(i)$

- 2e groupe : $X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}{\hat {\beta }}_{2})=0(ii)$

où ${\hat {\beta }}_{i}$ correspond à l'estimateur de la vraie valeur de $\beta _{i}$.

On peut trouver grâce à $(ii)$ l'expression de ${\hat {\beta }}_{2}$ en fonction de ${\hat {\beta }}_{1}$:

$X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})-X_{2}'X_{2}{\hat {\beta }}_{2}=0\Longleftrightarrow {\hat {\beta }}_{2}=(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})$

On obtient donc pour ${\hat {\beta }}_{1}$ avec $(i)$:

$X_{1}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}-X_{2}(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0$

$X_{1}'([I_{N}-X_{2}(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'](y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0$, on factorise $y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}$.

$X_{1}'(M_{X_{2}}(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1}))=0$

$X_{1}'M_{X_{2}}y-X_{1}'M_{X_{2}}X_{1}{\hat {\beta }}_{1}=0$

${\hat {\beta }}_{1}=(X_{1}'M_{X_{2}}X_{1})^{-1}X_{1}'M_{X_{2}}y$

On a donc :

${\hat {\beta }}_{1}=(X_{1}'M_{X_{2}}X_{1})^{-1}X_{1}'M_{X_{2}}y$

${\hat {\beta }}_{2}=(X_{2}'X_{2})^{-1}X_{2}'(y-X_{1}{\hat {\beta }}_{1})$

Bibliographie

• (en) Ragnar Frisch et Frederick V. Waugh, « Partial Time Regressions as Compared with Individual Trends », Econometrica, vol. 1, n^o 4,‎ 1933, p. 387–401 (JSTOR 1907330)
• (en) Michael Lovell, « Seasonal Adjustment of Economic Time Series and Multiple Regression Analysis », Journal of the American Statistical Association, vol. 58, n^o 304,‎ 1963, p. 993–1010 (DOI 10.1080/01621459.1963.10480682)

Voir aussi

• Moindres carrés ordinaires
• Moindres carrés partiels
• Régression linéaire