Théorème de Ribet

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Ribet (auparavant appelé conjecture epsilon ou ε-conjecture) est un résultat qui concerne les propriétés des représentations galoisiennes associées aux formes modulaires. Ce théorème a d'abord été conjecturé par Jean-Pierre Serre, avant d'être démontré par Ken Ribet en 1986.

Ce résultat constitue une étape importante vers la démonstration du dernier théorème de Fermat, Serre et Ribet ayant démontré que la conjecture epsilon, associée à la conjecture Shimura-Taniyama-Weil, impliquait le dernier théorème de Fermat. Plus précisément, le théorème de Ribet énonce que si la représentation galoisienne associée à une courbe elliptique possède certaines propriétés, alors cette courbe ne peut pas être modulaire, au sens où il ne peut exister de forme modulaire donnant lieu à la même représentation. La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (maintenant connue sous le nom de théorème de modularité) ayant été démontrée par Andrew Wiles et Richard Taylor pour les courbes elliptiques semi-stables en 1994, le théorème de Ribet permet ainsi de conclure à la véracité du dernier théorème de Fermat.

Énoncé

Soit $f$ une forme modulaire nouvelle (en) de poids $2$ et de niveau $\Gamma _{0}(qN)$, où $N$ est un entier sans facteurs carrés et $q$ est un nombre premier qui ne divise pas $N$. À cette forme modulaire est associée une unique (à conjugaison matricielle près) représentation galoisienne $\ell$-adique $\rho _{f,\ell }\colon \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\to \mathrm {GL} _{2}({\overline {\mathbb {Q} _{\ell }}})$ de dimension $2$, non ramifiée aux nombres premiers $p\not |\ell qN$ et vérifiant

$\det(\rho _{f,\ell }(\mathrm {Frob} _{p}))=p\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Tr} (\rho _{f,\ell }(\mathrm {Frob} _{p}))=a_{p}(f)$,

pour ces nombres premiers $p$, où $\mathrm {Frob} _{p}$ désigne un Frobenius en $p$ de $\mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ (unique à conjugaison près) et $a_{p}(f)$ désigne le $p$-ième coefficient du développement en série de Fourier de $f$ à la pointe infinie.

Soit ${\overline {\rho }}_{f,\ell }\colon \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )\to \mathrm {GL} _{2}({\overline {\mathbb {F} _{\ell }}})$ la réduction modulo $\ell$ de $\rho _{f,\ell }$, dont on suppose qu'elle est absolument irréductible et non ramifiée en $q$ si $q\neq \ell$ et plate finie si $q=\ell$. Alors le théorème de Ribet énonce qu'il existe une forme nouvelle $g$ de poids $2$ et de niveau N telle que

${\overline {\rho }}_{f,\ell }\simeq {\overline {\rho }}_{g,\ell }$.

En particulier, si $E$ est une courbe elliptique sur $\mathbb {Q}$ de conducteur (en) $qN$, le théorème de modularité garantit l'existence d'une forme nouvelle $f$ de poids $2$ et de niveau $\Gamma _{0}(qN)$ telle que la représentation galoisienne ${\overline {\rho }}_{f,\ell }$ modulo $\ell$ de dimension $2$ associée à $f$ est isomorphe à la représentation galoisienne ${\overline {\rho }}_{E,\ell }$ modulo $\ell$ de dimension $2$ associée à $E$. Pour appliquer le théorème de Ribet à ${\overline {\rho }}_{E,\ell }$, il suffit de vérifier l'irréductibilité et la ramification. À l'aide de la théorie de la courbe de Tate (en), on peut démontrer que ${\overline {\rho }}_{E,\ell }$ n'est pas ramifiée si $q\neq \ell$ et plate finie si $q=\ell$ et si $\ell$ divise la puissance à laquelle $q$ apparaît dans le discriminant minimal $\Delta _{E}$ de $E$. Le théorème de Ribet implique alors qu'il existe une forme nouvelle $g$ de poids $2$ et de niveau $N$ telle que ${\overline {\rho }}_{E,\ell }\simeq {\overline {\rho }}_{g,\ell }.$.

Abaissement du niveau

Le théorème de Ribet ne garantit pas, à partir d'une courbe elliptique $E$ de conducteur $qN$, l'existence d'une courbe elliptique $E'$ de niveau $N$ pour laquelle $\rho _{E,\ell }\simeq \rho _{E',\ell }$. Rien n'assure en effet que les coefficients du développement en série de Fourier de la forme nouvelle $g$ de niveau $N$ donnée par le théorème soient rationnels et la variété abélienne associée à $g$ peut donc être de dimension supérieure à celle d'une courbe elliptique. Par exemple, la courbe elliptique 4171a1 de la base de données Cremona donnée par l'équation

$E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595$,

qui est de conducteur $C_{E}=43\times 97$ et de discriminant $\Delta _{E}=43^{7}\times 97^{3}$, ne s'abaisse pas modulo $7$ en une courbe elliptique de conducteur $97$. En revanche, la représentation galoisienne modulo $\ell$ associée à $E$ est isomorphe à la représentation galoisienne modulo $\ell$ d'une forme nouvelle $g$ de niveau $97$ et à coefficients algébriques non tous rationnels.

Cependant, pour $\ell$ suffisamment grand par rapport au niveau $N$ de la forme nouvelle abaissée, une forme nouvelle rationnelle (par exemple une courbe elliptique) doit s'abaisser en une autre forme nouvelle rationnelle (par exemple une courbe elliptique). En particulier pour $\ell \gg N^{N^{1+\varepsilon }}$, la représentation galoisienne modulo $\ell$ d'une forme nouvelle rationnelle ne peut pas être isomorphe à une forme nouvelle irrationnelle de niveau $N$.

De même, la conjecture de Frey-Mazur prédit que pour $\ell$ suffisamment grand et indépendant du conducteur $N$, les courbes elliptiques ayant des représentations galoisiennes isomorphes modulo $\ell$ sont en fait isogènes (en) et ont donc le même conducteur. Ainsi, un abaissement de niveau non trivial entre formes nouvelles rationnelles n'est pas supposé se produire pour les grandes valeurs de $\ell$ (à partir de $\ell >17$).

Histoire

Dans sa thèse, Yves Hellegouarch est à l'origine de l'idée d'associer les solutions (a, b, c) de l'équation de Fermat à un objet mathématique différent : une courbe elliptique. Si p est un nombre premier impair et a, b et c sont des entiers positifs tels que

$a^{p}+b^{p}=c^{p},$

alors une courbe de Frey (en) correspondante est une courbe algébrique donnée par l'équation

$y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).$

Il s'agit d'une courbe algébrique non singulière de genre un définie sur $\mathbb {Q}$ et son complété projectif est une courbe elliptique sur $\mathbb {Q}$.

En 1982, Gerhard Frey a attiré l'attention sur les propriétés inhabituelles de la même courbe, désormais appelée courbe de Frey (en). Cela a permis de faire le lien entre Fermat et Taniyama en montrant qu'un contre-exemple au dernier théorème de Fermat créerait une courbe qui ne serait pas modulaire. La conjecture a suscité un intérêt considérable lorsque Frey a suggéré que la conjecture de Taniyama-Shimura impliquait le dernier théorème de Fermat. Cependant, son argumentation n'était pas complète. En 1985, Jean-Pierre Serre a proposé qu'une courbe de Frey ne pouvait pas être modulaire et a fourni une preuve partielle. Cela a montré qu'une preuve du cas semi-stable de la conjecture de Taniyama-Shimura impliquerait le dernier théorème de Fermat. Serre n'a pas fourni de preuve complète et la partie manquante est devenue connue sous le nom de conjecture epsilon ou ε-conjecture. Durant l'été 1986, Kenneth Alan Ribet a prouvé la conjecture epsilon, démontrant ainsi que le théorème de modularité impliquait le dernier théorème de Fermat.

L'origine du nom provient de la partie ε de « conjecture de Taniyama-Shimura + ε ⇒ dernier théorème de Fermat ».

Conséquences

Supposons que l'équation de Fermat avec exposant p ≥ 5 admette une solution en entiers non nuls a, b, c. La courbe de Frey correspondante E_a^p,b^p,c^p est une courbe elliptique dont le discriminant minimal Δ est égal à 2⁻⁸ (abc)^2p et dont le conducteur N est le radical de abc, c'est-à-dire le produit de tous les nombres premiers distincts divisant abc. Une considération élémentaire de l'équation a^p + b^p = c^p montre clairement que l'un des nombres a, b, c est pair, et donc N l'est aussi. D'après la conjecture de Taniyama-Shimura, E est une courbe elliptique modulaire. Étant donné que tous les nombres premiers impairs divisant a, b, c dans N apparaissent à une puissance pième dans le discriminant minimal Δ, d'après le théorème de Ribet, des abaissements de niveau successifs modulo p suppriment tous les nombres premiers impairs du conducteur. Cependant, aucune forme nouvelle de niveau 2 ne subsiste car le genre de la courbe modulaire X₀(2) est zéro (et les nouvelles formes de niveau N sont des différentielles sur X₀(N)) .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ribet's theorem » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• conjecture ABC

Bibliographie

• (en) Kenneth Ribet, « From the Taniyama-Shimura conjecture to Fermat's last theorem », Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, vol. 5, 11 no. 1,‎ 1990, p. 116–139 (lire en ligne)
• (en) Andrew Wiles, « Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem », nnals of Mathematics, vol. A. 141 (3),‎ mai 1995, p. 443–551 (DOI 10.2307/2118559, JSTOR 2118559, lire en ligne [archive] [PDF])
• (en)  Richard Taylor et Andrew Wiles, « Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras », Annals of Mathematics, vol. 141 (3),‎ mai 1995, p. 553–572 (ISSN 0003-486X, OCLC 37032255, DOI 10.2307/2118560, JSTOR 2118560, zbMATH 0823.11030, lire en ligne [archive] [PDF])

Liens externes

• Courbe de Frey et théorème de Ribet
• Ken Ribet et le dernier théorème de Fermat par Kevin Buzzard, le 28 juin 2008