Tore algébrique

Un tore algébrique est une construction mathématique qui apparaît dans l'étude des groupes algébriques. Ils constituent l'un des premiers exemples de tels groupes.

La notion est due à Armand Borel en 1956, progressivement étendue par Alexandre Grothendieck et Takashi Ono (en) pour atteindre sa forme moderne. Les tores algébriques entretiennent d'étroites relations avec la théorie de Lie et les groupes algébriques.

L'étude des tores algébriques dans le cas des corps finis présente également un intérêt pratique en cryptographie, où ils permettent de construire des groupes d'ordre élevé tout en assurant que les éléments du groupe se prêtent à une représentation relativement compacte.

Définition

Un tore algébrique de dimension $d$ sur un corps $k$ est un schéma en groupes (en) $\mathbb {T}$ qui vérifie :$$\mathbb {T} \times _{k}{\overline {k}}\simeq \left(\mathbb {G} _{m}\right)^{d}$$où ${\overline {k}}$ est la clôture algébrique de $k$ et $\mathbb {G} _{m}$ est le groupe multiplicatif. On dit plus généralement d'une extension $L$ de $k$ telle que $\mathbb {T} \times _{k}L\simeq (\mathbb {G} _{m})^{d}$ qu'elle « déploie » le tore. La plus petite telle extension est appelée corps de rupture du tore. Si le tore est isomorphe à $\mathbb {G} _{m}^{d}$ sur $k$, sans qu'il y ait besoin d'étendre les scalaires, on dit qu'il est « déployé » ou qu'il s'agit du tore trivial. C'est en particulier toujours le cas si le corps $k$ est algébriquement clos.

Dans le cas où $k=\mathbb {F} _{q}$ est un corps fini, un tore de dimension $d$ est déployé par $\mathbb {F} _{q^{n}}$ pour un certain $n$ et correspond à la donnée d'un $\mathbb {Z}$-module de rang $d$ et d'un automorphisme d'ordre $n$.

Réseau des caractères

On associe à un tore $\mathbb {T}$ l'ensemble $X^{*}(\mathbb {T} )=\operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {G} _{m})$ qui possède une structure naturelle de réseau euclidien, et qui est donc appelé « réseau des caractères » de ce tore. La notion duale existe, et l'ensemble $X_{*}(\mathbb {T} )=\operatorname {Hom} (\mathbb {G} _{m},\mathbb {T} )$ est appelé « réseau des cocaractères ». Lorsque le tore est déployé de dimension $d$, ces deux réseaux sont isomorphes à $\mathbb {Z} ^{d}$.

Sur un corps algébriquement clos, le foncteur qui associe au tore son réseau des caractères forme une (anti-)équivalence de catégories. Ainsi, de même que la dualité de Pontriaguine classifie les groupes abéliens compacts via leurs caractères, les tores algébriques (ou plus généralement les groupes de type multiplicatif) sont classifiés par leur réseau de caractères.

Exemple

Cas du corps des réels

Soit $k=\mathbb {R}$, de clôture algébrique ${\overline {k}}=\mathbb {C}$, on note $\sigma$ le seul élément non nul de $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$. Il y a deux tores de dimension 1 sur $k$, qui correspondent aux deux actions de $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ sur $\mathbb {Z}$ : ou bien $\sigma$ agit comme l'identité (et on obtient le tore scindé $\mathbb {G} _{m}(\mathbb {R} )$) ou bien elle agit comme $-1$ et on obtient un tore dont les points réels forment un cercle unité : le groupe $U(1)$.

Sous-tore d'un groupe algébrique

Soit $G$ un groupe algébrique affine lisse sur un corps $k$ algébriquement clos. Alors l'ensemble des sous-groupes de $G$ qui sont des tores (nécessairement déployés) possède un élément maximal $T$, appelé tore maximal de $G$. Ces tores maximaux possèdent de nombreuses propriétés et jouent un rôle important dans la classification des groupes réductifs établie par Chevalley. Par exemple, les tores maximaux de $G$ sont conjugués deux à deux : pour tous tores maximaux $T$ et $T'$ de $G$, il existe un élément $g\in G(k)$ tel que $T'=gTg^{-1}$.

Lorsque $G$ est réductif, les tores maximaux permettent également de définir le groupe de Weyl de $G$, de la façon suivante : soit $N_{G}(T)=\{g\in G:gTg^{-1}=T\}$ le normalisateur de $T$ dans $G$. Il s'agit d'un sous-groupe de $G$ qui contient $T$ comme sous-groupe distingué (et qui est maximal pour cette propriété). Le groupe de Weyl de $G$ est alors $W_{G}(T)=N_{G}(T)/T$. À isomorphisme près, il ne dépend pas du choix de $T$. Ce groupe est fini et encode certaines symétries du groupe $G$.

Notes et références