Transformée d'Abel

En mathématiques, la transformée d'Abel, nommée d'après Niels Henrik Abel, est une transformation intégrale de projection d'une fonction axisymétrique.

Geométrie de la transformée d'Abel en deux dimensions.

La transformée d'Abel $F$ de la fonction $f$ s'écrit :

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.$

Si $f(r)$ converge plus rapidement que $1/r$, on peut écrire la transformée d'Abel inverse :

$f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

Relations avec d'autre transformations intégrales

Avec les transformations de Fourier et de Hankel

La transformation d'Abel fait partie d'un cycle d'opérateurs intégraux. Par exemple, en deux dimensions, en notant A la transformation d'Abel, F la transformation de Fourier et H la transformation de Hankel d'ordre 0, alors on a le cycle symétrique

$FA=H.$

En d'autres termes, pour une fonction sur un espace de dimension 1, calculer la transformée de Fourier de la transformée d'Abel d'une fonction revient à calculer sa transformée de Hankel.

Avec la transformée de Radon

La transformation d'Abel peut être vue comme la transformation de Radon d'une fonction 2D isotropique. Pour une telle fonction, sa transformée de Radon est la même peu importe l'angle de l'axe, et la transformée d'Abel est alors une fonction uniquement de la distance le long de l'axe.

Physique

La transformée d'Abel et son inverse ont un certain nombre d'utilisations dans le domaine de la physique, notamment dans le cas de distributions à symétrie circulaire en deux dimensions qui doivent être projetées en une dimension. C'est par exemple le cas pour la formation d'images optiques, la cartographie par radar ou la détection passive.