Transformation naturelle

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs.

Définition

Soient ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ deux catégories, F et G deux foncteurs de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ . Une transformation naturelle $η$ de F vers G, que l'on note $\eta :F\rightarrow G$ est la donnée, pour tout objet ${\textstyle X}$ de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ , d'un morphisme de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ :

\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)

,

tel que pour tous objets X et Y de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ et tout morphisme $f$ de X dans Y, on ait $\eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}$ , c'est-à-dire que le diagramme suivant soit commutatif^[1]^,^[2]:

Ainsi, une transformation naturelle est une collection $\eta =(\eta _{X})_{X\in Ob({\mathcal {C}})}$ de morphismes de ${\textstyle {\mathcal {D}}}$ , un morphisme $\eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)$ pour chaque objet ${\textstyle X}$ de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ .

La définition de transformation naturelle ci-dessus concerne deux foncteurs covariants. On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Exemples

Actions de groupes

Lorsque G est un groupe vu comme une catégorie à un seul objet, un foncteur $F:G\to {\boldsymbol {\operatorname {Set} }}$ de G dans la catégorie des ensembles est exactement une action de G sur F(G). Si $F_{1}$ et $F_{2}$ sont deux telles actions de groupes, une transformation naturelle $\eta :F\to G$ est la donnée d'une unique application (au sens ensembliste) $\eta _{G}:F_{1}(G)\to F_{2}(G)$ compatible avec l'action du groupe G, c'est-à-dire telle que pour tout élément x de $F_{1}(G)$ et pour tout élément $g$ de G, on ait $\eta _{G}(g\cdot x)=g\cdot \eta _{G}(x)$ .

Déterminant

Le déterminant peut être vu comme une transformation naturelle. Lorsque A et B sont deux anneaux commutatifs unitaires, tout morphisme d'anneaux $f:A\to B$ induit un morphisme de groupes $GL_{d}f:GL_{d}(A)\to GL_{d}(B)$ obtenu en appliquant f coordonnée par coordonnée à une matrice inversible à coefficients dans A, ainsi qu'un morphisme de groupes $f^{\times }:A^{\times }\to B^{\times }$ obtenu par restriction et co-restriction de f aux groupes des inversibles de A et B. Ces transformations permettent de définir deux foncteurs entre la catégorie des anneaux commutatifs unitaires et celle des groupes : d'une part $GL:{\boldsymbol {\operatorname {Rings} }}\to {\boldsymbol {\operatorname {Grp} }}$ et d'autre part ${\displaystyle \times$ . Le déterminant réalise une transformation naturelle entre ces deux foncteurs^[1].

Longueur d'une liste

La notion de transformation naturelle est utile aussi en informatique et plus précisément en programmation fonctionnelle ; on donne l'exemple de la longueur d'une liste (cf. p. 180 dans ^[3]). En pratique, on a une fonction typée $longueur_{A}:Liste[A]\rightarrow Entier$ c'est à toute liste avec des éléments de type $A$ , la fonction $longueur_{A}$ associe un entier.

On considère ici la catégorie ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ des types : les objets sont des types (e.g. entiers, liste d'entiers, chaîne de caractères, etc.) et les morphismes sont les fonctions qui prennent une valeur d'un type et renvoie une valeur d'un autre type. Considérons les deux foncteurs suivants :

Le foncteur ${\textstyle F}$ de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ qui associe tout type $A$ au type $Liste[A]$ (type liste avec éléments de type $A$ ). Il associe tout morphisme $f:A\rightarrow B$ sur $map_{f}:Liste[A]\rightarrow Liste[B]$ qui applique $f$ sur chaque élément de la liste. Le foncteur ${\textstyle F}$ s'appelle parfois le foncteur liste^[3].
Le fonction ${\textstyle G}$ de ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ dans ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ qui associe tout type $A$ au type $Entier$ , et que morphisme $f:A\rightarrow B$ sur le morphisme identité sur $Entier$ . Cette fonction ${\textstyle G}$ est notée ${\textstyle Const\ Int}$ dans ^[3].

On note $longueur$ la collection des fonctions $longueur_{A}$ pour tout type $A$ . Il s'agit d'une transformation naturelle de ${\textstyle F}$ vers ${\textstyle G}$ . Le diagramme de la définition est bien commutatif : calculer la longueur puis appliquer l'identité sur cette longueur donne le même résultat qu'appliquer une fonction $f$ à chaque élément de la liste puis à calculer la longueur.

Miroir d'une liste

De façon similaire, la fonction miroir, qui renverse une liste (par exemple [1, 4, 5] devient [5, 4, 1]) est une transformation naturelle de ${\textstyle F}$ dans ${\textstyle F}$ où ${\textstyle F}$ est le foncteur liste^[3]. En effet, renverser la liste puis appliquer $f$ à chaque élément revient au même que d'appliquer $f$ à chaque élément puis ensuite renverser la liste. Par exemple, si $f$ est la multiplication par deux, en appliquant $f$ à chaque élément de [1, 4, 5] on obtient [2, 8, 10], puis en renversant on a [10, 8, 2]. D'autre part, si on renverse d'abord la liste [1, 4, 5], on a [5, 4, 1]. Puis en appliquant $f$ à chaque élément, on obtient le même résultat [10, 8, 2].

Composition des transformations naturelles

Il existe deux façons de composer des transformations naturelles entre elles : une composition dite « verticale », qui correspond au cas de deux transformations naturelles $\alpha :F\to G$ et $\beta :G\to H$ , où les trois foncteurs F, G et H ont même domaine et codomaine, et une composition dite « horizontale ». Étant donné deux catégories ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ , les foncteurs de ${\mathcal {C}}$ vers ${\mathcal {D}}$ peuvent alors être vus comme les objets d'une catégorie dont les flèches sont les transformations naturelles entre ces foncteurs^[4]. La flèche identité d'un foncteur $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ est alors la transformation naturelle $1_{F}=(1_{f(A)})_{A\in Ob({\mathcal {C}})}$ . Par ailleurs, la collection de toutes les catégories, de tous les foncteurs et de toutes les transformations naturelles satisfait aux axiomes d'une 2-catégorie^[4].

Composition verticale

Soient deux catégories ${\mathcal {A}}$ et ${\mathcal {B}}$ et trois foncteurs parallèles $F,G,H:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ . Étant donné deux transformations naturelles $\alpha :F\to G$ et $\beta :G\to H$ , la composée $\beta \circ \alpha$ est définie via la formule $(\beta \circ \alpha )_{X}=(\beta )_{X}\circ (\alpha )_{X}$ pour tout objet X de la catégorie ${\mathcal {C}}$ . La collection de flèches $\beta \circ \alpha$ ainsi définie est alors une transformation naturelle de $F$ vers $H$ .

Composition horizontale

Soient trois catégories ${\mathcal {A}}$ , ${\mathcal {B}}$ et ${\mathcal {C}}$ et deux paires de foncteurs parallèles $F,G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ et $F',G':{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ . Étant donné deux transformations naturelles $\alpha :F\to G$ et $\beta :F'\to G'$ , et un objet A de la catégorie ${\mathcal {A}}$ , les flèches $G'(\alpha _{A})\circ \alpha '_{F(A)}$ et $\alpha '_{G(A)}\circ F'(\alpha _{A})$ sont égales. Il est alors possible de définir une transformation naturelle $\beta *\alpha :F'\circ F\to G'\circ G$ comme la collection de ces flèches pour tout tel objet A.

Isomorphismes naturels

Étant donné deux catégories ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$ , la catégorie $[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]$ des foncteurs de ${\mathcal {C}}$ vers ${\mathcal {D}}$ et de leurs transformations naturelles fournit une notion d'isomorphisme de foncteurs : une transformation naturelle $\alpha$ entre deux foncteurs $F,G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ est un isomorphisme de foncteurs (parfois appelé isomorphisme naturel) si elle admet un inverse, c'est-à-dire une transformation naturelle $\beta :G\to F$ telle que $\alpha \circ \beta =1_{G}$ et $\beta \circ \alpha =1_{F}$ . Les foncteurs F et G sont alors dits "naturellement isomorphes", situation parfois notée $F\cong G$ .

Une transformation naturelle $\alpha :F\to G$ est un isomorphisme naturel si, et seulement si, pour tout objet X de ${\mathcal {C}}$ , la flèche $\alpha _{X}:F(X)\to G(X)$ est un isomorphisme dans la catégorie ${\mathcal {D}}$ ^[5]. Certains auteurs définissent d'ailleurs ainsi la notion d'isomorphisme naturel^[1].

La notion d'isomorphisme naturel est à la base, notamment, de la définition d'équivalence de catégories^[5].

Exemple

Soit K un corps (commutatif). Dans la catégorie ${\boldsymbol {\operatorname {Vect} _{K}^{f.d.}}}$ des K-espaces vectoriels de dimension finie et de leurs applications linéaires, le foncteur de bidualité qui à un K-espace vectoriel associe son bidual et à une application linéaire associe sa double transposée est naturellement isomorphe au foncteur identité de ${\boldsymbol {\operatorname {Vect} _{K}^{f.d.}}}$ . L'isomorphisme naturel entre ces deux foncteurs est donné par la famille d'isomorphismes linéaires définis pour tout K-espace vectoriel E par : ${\begin{aligned}J_{E}:E&\to E^{**}\\x&\mapsto (\varphi \mapsto \varphi (x))\end{aligned}}$ De façon informelle, cet isomorphisme naturel traduit le fait que les isomorphismes linéaires $J_{E}$ ne reposent sur aucun choix arbitraire dépendant de l'espace vectoriel E considéré^[5].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Natural transformation » (voir la liste des auteurs).

1 2 3 Saunders Mac Lane, « Categories for the Working Mathematician », Graduate Texts in Mathematics,‎ 1978 (ISSN 0072-5285 et 2197-5612, DOI 10.1007/978-1-4757-4721-8, lire en ligne, consulté le 27 avril 2026).
↑ S. Abramsky et N. Tzevelekos, « Introduction to Categories and Categorical Logic », dans New Structures for Physics, Springer, 2011, 3–94 p. (ISBN 978-3-642-12821-9, DOI 10.1007/978-3-642-12821-9_1, lire en ligne)
1 2 3 4 (en) Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, Lightning Source UK, 2019 (ISBN 978-0-464-24387-8, lire en ligne)
1 2 Emily Riehl, Category theory in context, Dover Publications, Inc, coll. « Aurora Dover modern math originals », 2016 (ISBN 978-0-486-80903-8).
1 2 3 Tom Leinster, Basic category theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge studies in advanced mathematics », 2014 (ISBN 978-1-107-04424-1)

Voir aussi

Bibliographie

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]

Portail des mathématiques

[:2-1] 1 2 3 Saunders Mac Lane, « Categories for the Working Mathematician », Graduate Texts in Mathematics,‎ 1978 (ISSN 0072-5285 et 2197-5612, DOI 10.1007/978-1-4757-4721-8, lire en ligne, consulté le 27 avril 2026).

[2] S. Abramsky et N. Tzevelekos, « Introduction to Categories and Categorical Logic », dans New Structures for Physics, Springer, 2011, 3–94 p. (ISBN 978-3-642-12821-9, DOI 10.1007/978-3-642-12821-9_1, lire en ligne)

[:3-3] 1 2 3 4 (en) Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, Lightning Source UK, 2019 (ISBN 978-0-464-24387-8, lire en ligne)

[:0-4] 1 2 Emily Riehl, Category theory in context, Dover Publications, Inc, coll. « Aurora Dover modern math originals », 2016 (ISBN 978-0-486-80903-8).

[:1-5] 1 2 3 Tom Leinster, Basic category theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge studies in advanced mathematics », 2014 (ISBN 978-1-107-04424-1)

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