Transformée de Fourier-Mukai

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

La transformée de Fourier-Mukai est un analogue en géométrie algébrique de la transformée de Fourier usuelle utilisée en analyse. Elle a été introduite par Shigeru Mukai.

Définition

Soit $X$ une variété abélienne et $\hat{X}$ sa variété abélienne duale. On note $𝒫$ le fibré de Poincaré sur $X \times \hat{X}$ , normalisé de façon à être trivial sur les fibres $X \times 0$ et $0 \times \hat{X}$ . Soient $p$ et $\hat{p}$ les projections canoniques.

Le foncteur de Fourier-Mukai est défini par :

R 𝒮 : ℱ \in D (X) \mapsto R {\hat{p}}_{*} (p^{*} ℱ \otimes 𝒫) \in D (\hat{X})

On a un foncteur similaire en sens inverse $R \hat{𝒮} : D (\hat{X}) \to D (X)$ .

Propriétés

Soit $g$ la dimension de $X$ .

On a une propriété d'involutivité :

R 𝒮 \circ R \hat{𝒮} = (- 1)^{*} [- g]

La transformée de Fourier-Mukai échange (au degré près) le produit de Pontryagin et le produit tensoriel :

R 𝒮 (ℱ * 𝒢) = R 𝒮 (ℱ) \otimes R 𝒮 (𝒢)

R 𝒮 (ℱ \otimes 𝒢) = R 𝒮 (ℱ) * R 𝒮 (𝒢) [g]

Références

Shigeru Mukai, Duality between $D (X)$ and $D (\hat{X})$ with its application to Picard sheaves, Nagoya Mathematical Journal 81, 153-175, ISSN 0027-7630 (1981)

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