Triangle de Rascal
En mathématiques élémentaires, le triangle de Rascal est un tableau triangulaire de nombres analogue au triangle de Pascal, dont les quatre premières lignes sont identiques à celles de ce dernier, mais dont la construction diffère.
Présenté sous forme pyramidale, le triangle présente des "1" sur les côtés, et chaque terme intérieur est défini à partir des termes voisins de la ligne précédente et du terme de la ligne antéprécédente situé au dessus, par la formule .
Définition par récurrence
modifierNotant, pour , le terme de la ligne d'indice et de la colonne d'indice , la définition par récurrence s'écrit :
, pour .
D'où la construction :↵
Formule
modifierOn a pour , , ce qui prouve que est entier, ainsi que la formule de symétrie, .
Autrement formulé, pour , on a : .
Ceci vient de la relation : .
Le triangle de Rascal sous forme pyramidale n'est donc autre que la table de multiplication dont tous les termes ont été augmentés de 1, et tournée de 45° :
Somme d'une ligne
modifierLa somme des termes de la ligne d'indice est égale à un nombre gâteau : ; les quatre premiers termes sont les quatre premières puissances de 2.
La somme alternée d'une ligne est évidemment nulle pour impair pour raison de symétrie, mais pour pair, on a : .
Historique
modifierCe triangle a été trouvé et nommé par des collégiens en 2010 à la suite de la question de leur professeur de poursuivre les quatre premières lignes du triangle de Pascal, qu'ils ont poursuivi avec la formule ci-dessus, et non la relation de Pascal classique[1].
Il avait déjà été proposé par Clark Kimberling en 2002 dans l'OEIS.
Lien externe
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Rascal Triangle », sur MathWorld.
Références
modifier- (en) Anggoro, A.; Liu, E.; Tulloch, A., « The Rascal Triangle », College Math. J., vol. 41, , p. 393-395 (lire en ligne)