Triangle podaire

En géométrie euclidienne plane, le triangle podaire d'un point relativement à un triangle donné est le triangle obtenu en projetant ce point sur les côtés du triangle.

Définition

Étant donné un triangle non aplati $ABC$ et un point $P$ de son plan, soient $L, M, N$ les points d'intersection des perpendiculaires issues de $P$ aux trois droites $(BC),(CA),(AB)$ supportant les côtés du triangle. Le triangle podaire du point $P$ relativement au triangle $ABC$ est le triangle $LMN$ .

Cas particuliers

Si $P$ est l' orthocentre, $LMN$ est le triangle orthique.
Si $P$ est le centre du cercle inscrit, $LMN$ est le triangle de contact .
Si $P$ est le centre du cercle circonscrit, $LMN$ est le triangle médian et c'est le seul cas où le triangle podaire est semblable au triangle de référence^[1].
Si $P$ se trouve sur le cercle circonscrit du triangle, $L, M, N$ sont alignés sur la droite podaire ou droite de Simson du point $P$ .

Propriétés

Les quadrilatères $PMAN, PLBN, PLCM$ sont inscriptibles. Le point $P$ est donc le point de Miquel associé au triangle $ABC$ et aux points $L,M,N$ , les trois cercles, les cercles de Miquel, et le triangle podaire, l'un des triangles de Miquel associé au point $P$ ^[1].

Les sommets du triangle podaire d'un point intérieur $P$ divisent les côtés du triangle d'origine en satisfaisant au théorème de Carnot^[2] :

$AN^{2}+BL^{2}+CM^{2}=NB^{2}+LC^{2}+MA^{2}.$

Coordonnées trilinéaires des sommets

Si $P$ a pour coordonnées trilinéaires $(p : q : r)$ , celles des sommets $L, M, N$ du triangle podaire de $P$ sont données par : ${\begin{array}{ccccccc}L&&(0&:&q+p\cos {\widehat {C}}&:&r+p\cos {\widehat {B}})\\[2pt]M&(&p+q\cos {\widehat {C}}&:&0&:&r+q\cos {\widehat {A}})\\[2pt]N&(&p+r\cos {\widehat {B}}&:&q+r\cos {\widehat {A}}&:&0)\end{array}}$

Longueurs des côtés du triangle podaire

Les longueurs des côtés du triangle podaire d'un point $P$ intérieur au triangle vérifient les relations^[1] : ${\begin{cases}MN=PA\sin {\widehat {A}}\\NL=PB\sin {\widehat {B}}\\LM=PC\sin {\widehat {C}}\end{cases}}$ Pour $MN$ , on peut utiliser que $[MN]$ est une corde du cercle passant par $A,M,P,N$ (voir à longueur d'une corde).

Mais d'après la loi des cosinus dans les 3 triangles de sommet $P$ , on a également : ${\begin{cases}MN^{2}=q^{2}+r^{2}+2qr\cos {\widehat {A}}\\NL^{2}=r^{2}+p^{2}+2rp\cos {\widehat {B}}\\LM^{2}=p^{2}+q^{2}+2pq\cos {\widehat {C}}\end{cases}}$ En éliminant $MN,NL,LM$ entre ces relations, on obtient les distances aux sommets $PA,PB,PC$ du point $P$ en fonction des distances aux côtés $p,q,r$ .

Triangle antipodaire

Un sommet, $L'$ , du triangle antipodaire de $P$ est le point d'intersection de la perpendiculaire à $(BP)$ passant par $B$ et de la perpendiculaire à $(CP)$ passant par $C$ . Ses autres sommets, $M'$ et $N'$ , sont construits de manière analogue. Les coordonnées trilinéaires sont données par ${\begin{array}{ccrcrcr}L'&(&-(q+p\cos {\widehat {C}})(r+p\cos {\widehat {B}})&:&(r+p\cos {\widehat {B}})(p+q\cos {\widehat {C}})&:&(q+p\cos {\widehat {C}})(p+r\cos {\widehat {B}}))\\[2pt]M'&(&(r+q\cos {\widehat {A}})(q+p\cos {\widehat {C}})&:&-(r+q\cos {\widehat {A}})(p+q\cos {\widehat {C}})&:&(p+q\cos {\widehat {C}})(q+r\cos {\widehat {A}}))\\[2pt]N'&(&(q+r\cos {\widehat {A}})(r+p\cos {\widehat {B}})&:&(p+r\cos {\widehat {B}})(r+q\cos {\widehat {A}})&:&-(p+r\cos {\widehat {B}})(q+r\cos {\widehat {A}}))\end{array}}$

Par exemple, le triangle excentral est le triangle antipodaire du cercle inscrit.

Si $P$ ne se situe sur aucun des côtés prolongés $(BC),(CA),(AB)$ , soit $P -1$ le conjugué isogonal de $P$ . Le triangle podaire de $P$ est homothétique du triangle antipodaire de $P -1$ . Le centre homothétique (qui est un centre du triangle si et seulement si $P$ est un centre du triangle) est le point donné en coordonnées trilinéaires par

${\displaystyle (ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\$

Le produit des aires du triangle podaire de $P$ et du triangle antipodaire de $P -1$ est égal au carré de l'aire de $ABC$ .

Cercle podaire

Article détaillé : Cercle podaire.

Le cercle podaire est le cercle circonscrit au triangle podaire. Il est à noter que le cercle podaire est non défini pour les points situés sur le cercle circonscrit au triangle.

Cercle podaire des conjugués isogonaux

Pour tout point $P$ ne se trouvant pas sur le cercle circonscrit au triangle, $P$ et son conjugué isogonal $P*$ ont même cercle podaire ; son centre est le milieu de ces deux points^[3].

Références

1 2 3 (en) Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960 (lire en ligne), p. 136
↑ Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging problems in geometry, New York, Dover, 1996, 85-86 (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne )
↑ Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, 1^er janvier 1995 (ISBN 978-0-88385-951-3, lire en ligne)

Liens externes

Mathworld : Pedal Triangle
Droite de Simson
Triangle podaire et conjugaison isogonale
Triangle et cercle podaire - illustration interactive
Théorème de perpendicularité de Carnot (ou de Bottema) et quelques généralisations - croquis interactif et dynamique

Portail de la géométrie

[:0-1] 1 2 3 (en) Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover, 1960 (lire en ligne), p. 136

[2] Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging problems in geometry, New York, Dover, 1996, 85-86 (ISBN 9780486134864, OCLC 829151719, lire en ligne )

[3] Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, 1^er janvier 1995 (ISBN 978-0-88385-951-3, lire en ligne)

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