Tribu optionnelle

En mathématiques, une tribu optionnelle ou σ-algèbre optionnelle est la tribu générée par tous les processus adaptés et càdlàg (continue à droite, limite à gauche).

Definition

Étant donné un espace de probabilité filtré $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbf {F} ,P)$ avec une filtration $\mathbf {F} :=({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ satisfaisant les conditions usuelles.

La tribu optionnelle ${\mathcal {O}}$ (ou ${\mathcal {O}}(\mathbf {F} )$ notée) est la tribu sur $\Omega \times \mathbb {R} _{+}$ générée par tous les processus adaptés et càdlàg.

Un processus qui est mesurable par rapport à cette tribu, c'est-à-dire l'application $(\omega ,t)\mapsto X_{t}(\omega )$ est ${\mathcal {O}}$-mesurable, est appelé optionnel.

Propriétés

Soient ${\mathcal {P}}$ la tribu prévisible et ${\text{Prog}}$ la tribu progressivement mesurable. Alors l'inclusion s'applique

${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {O}}\subset {\text{Prog}}\subset {\mathcal {F}}_{\infty }\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}).$

Bibliographie

• Claude Dellacherie, Capacités et processus stochastiques, Springer, 1972
• (en) Daniel revuz et Marc Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1999, p. 172