Tribu produit

En théorie de la mesure, la tribu produit est la tribu engendrée par les pavés de côté mesurable. Avec la mesure produit, elles fournissent le cadre pour donner un sens à la notion de « mesure de surface » à partir de « mesures de longueur ».

Définition

Étant donnés deux espaces mesurables $(\Omega _{1},{\mathcal {T}}_{1})$ et $(\Omega _{2},{\mathcal {T}}_{2})$, la tribu produit, notée ${\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}$, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ ; elle est définie de la façon suivante :

• ${\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables $R=R_{1}\times R_{2}$ où $R_{1}\in {\mathcal {T}}_{1},R_{2}\in {\mathcal {T}}_{2}$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
• on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections $\pi _{1}$ et $\pi _{2}$ définies par : $\pi _{i}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{i},\ i=1,2$.

Le lemme de transport permet de montrer qu'une application $f$, définie sur un espace mesurable $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ à valeurs dans l'espace produit $(E_{1}\times E_{2},{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2})$, est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées $f_{i}$ sont, chacune, mesurables pour les tribus ${\mathcal {T}}_{i}$. En particulier les applications $y\mapsto (x,y)$ (pour $x$ fixé) et $x\mapsto (x,y)$ (pour $y$ fixé) sont aussi mesurables.

Exemple : tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques $(\Omega _{1},{\mathcal {O}}_{1})$ et $(\Omega _{2},{\mathcal {O}}_{2})$ munies de leurs tribus boréliennes respectives ${\mathcal {B}}_{1}$ et ${\mathcal {B}}_{2}$. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ une structure d'espace mesurable :

1. à partir de la tribu produit ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$
2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit ${\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}$, notée ${\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$.

La première est toujours incluse dans la seconde. En effet, les projections $\pi _{i}$ sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

Si les espaces topologiques $(\Omega _{i},{\mathcal {O}}_{i})$ sont à base dénombrable alors ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}={\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$. En particulier ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2})$. Un contre-exemple possible est $\Omega _{1}=\Omega _{2}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ l'ensemble des fonctions réelles bornées^{[réf. souhaitée]}.

Démonstration de ${\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}={\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})$

Soit $U$ un ouvert de ${\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2}$, alors $U$ est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme $U_{1}\times U_{2}$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent $U\in {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2},$ d'où ${\mathcal {B}}({\mathcal {O}}_{1}\times {\mathcal {O}}_{2})\subset {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$.

Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons $n$, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables $R_{1}\times \ldots \times R_{n}$. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de $n$ tribus.

Produit infini de tribus

Si on considère maintenant un produit infini d'espaces mesurés $(\Omega _{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}$, la tribu produit $\otimes _{i\in I}{\mathcal {T}}_{i}$, définie sur l'ensemble produit $\prod _{i\in I}\Omega _{i}$, est la tribu engendrée par les ensembles de la forme $\prod _{i\in I}R_{i}$ où $R_{i}\in {\mathcal {T}}_{i}$ et où $R_{i}=\Omega _{i}$ sauf pour un nombre fini d'indices $i$.

Voir aussi

Articles connexes

• Mesure produit

Bibliographie

• Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration: analyse intégrale de Lebesgue, convolution, transformées de Fourier et de Laplace, De Boeck, 2023, 8^e éd. (1^re éd. 1998) (ISBN 978-2-8073-5955-0)