Extension des fonctions circulaires
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Pour tous nombres complexes a et b, on a par exemple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(a+b)&=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b\\\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ee11563c15ea9c524d90998bf90fac3331dad0)
Démonstration
d'où (en remplaçant b par ib) :
Pour les autres fonctions trigonométriques, on fait de même. Pour tan, cot, tanh et coth, Il vaut mieux utiliser leurs définitions, soit
![{\displaystyle \tan z={\frac {\sin z}{\cos z}},\quad \cot z={\frac {\cos z}{\sin z}},\quad \tanh z={\frac {\sinh z}{\cosh z}},\quad \coth z={\frac {\cosh z}{\sinh z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ae35d4200de9ab3ef11d957faa021a2854fa03)