Ultrafinitisme

L'ultrafinitisme est un courant de la philosophie des mathématiques, aussi connu sous les noms d'ultraintuitionnisme, finitisme strict, ou encore de finitisme fort, caractérisé par son rejet de l'infini. L'ultrafinitisme se distingue non seulement de l'approche classique, dans laquelle les infinis sont des objets réels à part entière, mais rejette également les approches constructiviste et intuitionniste, qui admettent des infinis potentiels.

Pour l'ultrafinitisme, forme extrême de finitisme, seuls les objets effectivement représentables sont admis. L'infini potentiel (qu'on pourrait construire en répétant sans fin un algorithme effectif) et les nombres gigantesques, sont rejetés.

L'ultrafinitisme est une approche minoritaire, néanmoins défendue par plusieurs mathématiciens tels que Doron Zeilberger.

Idées principales

L'ultrafinitisme nie l'existence de l'ensemble infini $\mathbb {N}$ des entiers naturels, car celui-ci ne pourra jamais être complété.

En outre, certains ultrafinitistes doutent de l'existence de certains objets mathématiques que personne ne peut construire en pratique. Ainsi, certains ultrafinitistes nient l'existence de grands nombres, par exemple la partie entière du premier nombre de Skewes, qui est un nombre extrêmement grand défini en utilisant la fonction exponentielle tel que exp(exp(exp(79))), ou

$e^{e^{e^{79}}}{\mbox{.}}\!$

La raison est que personne n'a encore calculé la partie entière de cet entier naturel. De même, $2\uparrow \uparrow \uparrow 6$ (en notation des flèches de Knuth) ne serait considérée que comme une expression formelle qui ne correspond pas à un entier naturel.

$2\uparrow \uparrow \uparrow 6$

Certaines versions de l'ultrafinitisme sont des formes de constructivisme, mais la plupart des constructivistes considèrent l'ultrafinitisme comme irréalisable. Le fondement logique de l'ultrafinitisme n'est pas clair et dans son étude Constructivism in Mathematics (1988), le logicien constructiviste A. S. Troelstra le rejette en affirmant qu'« aucun développement satisfaisant n'existe à l'heure actuelle ».

Travaux sur l'ultrafinitisme

Un travail sérieux sur l'ultrafinitisme a été mené, depuis 1959, par Alexander Esenin-Volpin, qui a esquissé en 1961 un programme pour prouver la cohérence de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel dans les mathématiques ultrafinies. D'autres mathématiciens qui ont travaillé sur le sujet sont Doron Zeilberger, Edward Nelson et Rohit Jivanlal Parikh. L'ultrafinitisme est parfois associée à Ludwig Wittgenstein, Robin Gandy et J. Hjelmslev.^{[réf. souhaitée]}

L'ultrafinitisme est rejeté par une majorité de mathématiciens : peu de chercheurs travaillent sur cette approche, et ils sont encore moins nombreux à en être « des partisans déclarés ». On compte parmi ces derniers le mathématicien Doron Zeilberger.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ultrafinitism » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Finitisme
• Intuitionnisme

Bibliographie

Articles de vulgarisation

• Gregory Barber, « L'étonnant courant mathématique qui bannit l'infini », Pour la science, n^o 586,‎ août 2026, p. 15-21.
  • (en) Gregory Barber, « What can we gain by losing infinity ? », Quantamagazine.org,‎ 29 avril 2016 (lire en ligne).

Articles dans la littérature scientifique

• (en) András Kornai, « Explicit Finitism », International Journal of Theoretical Physics, vol. 42, n^o 2,‎ 1^er février 2003, p. 301–307 (ISSN 1572-9575, DOI 10.1023/A:1024451401255).
• (en) Vladimir Yu. Sazonov, « On feasible numbers », Logic and Computational Complexity, Springer,‎ 1995, p. 30–51 (ISBN 978-3-540-44720-7, DOI 10.1007/3-540-60178-3_78).

Ouvrages

• (en) Alexandre Éssénine-Volpine, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warsaw, 1959), Oxford, Pergamon, 1961, 201–223 p. (MR 0147389), « Le programme ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques » Revu par (en) G. Kreisel et A. Ehrenfeucht, Review of Le Programme Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques by A. S. Ésénine-Volpine, vol. 32, Association for Symbolic Logic, 1967 (DOI 10.2307/2270182, JSTOR 2270182), chap. 4, p. 517.
• (en) Shaughan Lavine, Understanding the Infinite, Harvard University Press, 1994 (ISBN 978-0-674-92096-5).
• (en) R. M. Cherubin et M. A. Mannucci, A very short history of ultrafinitism, in Set Theory, in Arithmetic, and Foundations of Mathematics - Theorems, Cambridge University Press, coll. « Philosophies », 2011.

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Universalis
• Notices d'autorité :

  • GND

• "Real" Analysis Is A Degenerate Case Of Discrete Analysis par Doron Zeilberger
• Discussion on formal foundations sur MathOverflow
• History of constructivism in the 20th century par A. S. Troelstra
• Predicative Arithmetic par Edward Nelson
• Logical Foundations of Proof Complexity par Stephen A. Cook et Phuong The Nguyen
• Bounded Reverse Mathematics par Phuong The Nguyen
• Reading Brian Rotman’s “Ad Infinitum…” par Charles Petzold
• Computational Complexity Theory