Unité matricielle

En algèbre linéaire, une unité matricielle est une matrice ne comportant qu'un seul coefficient non nul de valeur 1. L'unité matricielle dont la i-ème ligne et la j-ème colonne contiennent un 1 est notée $E_{ij}$. Par exemple, l'unité matricielle 3x3 avec i = 1 et j = 2 est $$E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

La notion de matrice à un seul coefficient généralise celle d'unité matricielle : elle désigne les matrices ne comportant qu'un seul coefficient non nul pouvant prendre n'importe quelle valeur, pas nécessairement la valeur 1.

Propriétés

L'ensemble des unités matricielles de taille m × n est une base de l'espace des matrices m × n.

Le produit de deux unités matricielles de même forme carrée $n\times n$ satisfait à la relation $$E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},$$ où $\delta _{jk}$ est le delta de Kronecker.

Le groupe des matrices scalaires n × n sur un anneau R est le centralisateur du sous-ensemble des unités matricielles n × n dans l'ensemble des matrices n × n sur R.

La norme matricielle (induite par les mêmes deux normes vectorielles) d'une unité matricielle est égale à 1.

Lorsque l'on multiplie par une matrice par une unité matricielle, tous les coefficients du produits sont nuls, sauf ceux d'une ligne ou d'une colonne précise, selon qu'on multiple à gauche ou à droite. Plus précisément, la i-ème ligne (resp. la j-ème colonne) de $E_{ij}A$ (resp. de $AE_{ij}$) est égale à celle de $A$, les autres sont nulles. Par exemple, pour toute matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq 3}$, on a :

$E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right],\quad AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].$

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Matrix unit » (voir la liste des auteurs).