Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon6

Moins géométrique

Petit barratin...

Irrationnalité

On a vu que le nombre d'or était défini comme le rapport ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$ où b<a. On peut dire qu'il n'est pas rationnel, soit parcequ'on sait qu'il vaut $\varphi ={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}$ qui ne saurait être rationnel car ${\sqrt {5}}$ ne l'est pas ; soit parce qu'alors les entiers a et b vérifieraient $(a-b)(a+b)=ab$ et que tout diviseur premier de a diviserait alors b, or on peut les supposer premiers entre-eux, par exemple après avoir constaté que ${\frac {a'}{b'}}={\frac {da'}{db'}}={\frac {da'+db'}{da'}}={\frac {a'+b'}{a'}}$ où d désigne le PGCD de a et b. Il est alors naturel de chercher à approcher le nombre d'or par des rationnels.

Un peu d'analyse

Puisque $\varphi >0$ , l'équation $\varphi ^{2}=1+\varphi$ équivaut à $\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}$ qu'on interprète comme un point fixe. On peut aussi regarder l'équation équivalente $\varphi ={\sqrt {1+\varphi }}$. Elles donnent lieu aux égalités

$\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\varphi }}}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\varphi }}}}}}=\cdots =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\dots }}}}}}}}{\text{ et }}\varphi ={\sqrt {1+\varphi }}={\sqrt {1+{\sqrt {1+\varphi }}}}=\cdots ={\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}$

Pour donner un sens précis aux petits points, on considère les applications $f(x)=1+{\frac {1}{x}}$ et $g(x)={\sqrt {1+\varphi }}$ qui stabilisent $[1,+\infty [$. On peut ainsi définir des suites récurrentes partant de 1 et vérifiant $u_{n+1}=f(u_{n})$ et $v_{n+1}=g(v_{n})$. Sur un dessin (je pense bien sûr aux graphes de f et g ainsi qu'à la diagonale et aux petits traits qui permettent de construire les suites), on peut voir qu'elle converge : il s'agit de deux points fixe sattractifs.

L'avantage de la première est de stabiliser aussi $[1,+\infty [\cap \mathbb {Q}$ ce qui permet d'obtenir une approximation par des rationnels, on obtient un développement en fraction continuée.

Suite de Fibonacci

On peut rapidement calculer les premiers termes de la suite $(u_{n})_{n}\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$ définie précédemment. On obtient : $1,2,{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},\dots ,{\frac {F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}}$ où $F_{n}$ désigne le numérateur précédent dans la représentation irréductible. On introduit donc la suite, dite de Fibonacci, définie par la relation de récurrence d'ordre 2 :

$F_{0}=1,\,F_{1}=1$ et pour tout $n\in \mathbb {N} ,\,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.$

Un peu d'algèbre linéaire nous dirait qu'il existe des constante a et b telles que $F_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}$ pour tout entier et où $\psi :=1-\phi$ est l'autre racine de $x^{2}-x-1$. On peut néanmoins s'assurer qu'on a bien

$a\varphi ^{n+2}+b\psi ^{n+2}=a(\varphi ^{n+1}+\varphi ^{n})+b(\psi ^{n+1}+\psi ^{n})=(a\varphi ^{n+1}+b\psi ^{n+1})+(a\varphi ^{n}+b\psi ^{n})$

qui satisfaira donc la définition par récurrence dès lors que $1=F_{0}=a+b$ et $1=F_{1}=a\phi +b(1-\phi )$ ce qui permet de determiner $b=1-a={\frac {1-\varphi }{1-2\varphi }}$et donc d'obtenir $F_{n}={\frac {1}{1-2\varphi }}\left(\psi ^{n+1}-\varphi ^{n+1}\right)$ et de constater que pour tout entier ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}={\frac {\psi ^{n+2}-\varphi ^{n+2}}{\psi ^{n+1}-\varphi ^{n+1}}}={\frac {\psi \left({\frac {\psi }{\varphi }}\right)^{n}-\varphi }{\left({\frac {\psi }{\varphi }}\right)^{n}-1}}$ qui tend bien vers $\varphi$ car $\left|{\frac {\psi }{\varphi }}\right|<1$.

Équation diophantienne

[je maintiens qu'à part les aspects historiques, il n'y a rien à dire de plus ici que pour n'importe quel entier quadratique]

La fraction continue offre des rationnels b/a offrant presque des solutions à l'équation qui s'écrit sous les formes suivantes :

${\frac {b}{a}}\simeq 1+{\frac {1}{\frac {b}{a}}}\;\Leftrightarrow \;{\frac {b^{2}}{a}}\simeq b+a\;\Leftrightarrow \;a^{2}+a\cdot b-b^{2}\simeq 0$

L'égalité stricte à zéro est impossible, elle n'autorise que les solutions triviales. En effet, aucun nombre rationnel ne vérifie la proportion d'or, ce qui justifie l'équation diophantienne suivante :

$(1)\quad x^{2}+x\cdot y-y^{2}=\pm 1\;$

L'école mathématique indienne s'intéresse aux équations de cette nature. Brahmagupta développe une méthode, dite chakravala qui permet l'étude de telles équations. Il utilise une identité, qui dans le cas présent prend la forme suivante :

$(a^{2}+ab-b^{2})(c^{2}+cd-d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ac+bd)(ad+bc+bd)-(ad+bc+bd)^{2}\;$

Cette identité est liée à l'équation (1) précédente et donc au nombre d'or. Si (a, b) et (c, d) forment deux couples, solutions de l'équation (1), la partie de gauche de l'identité est égale à plus ou moins un. La partie de droite de l'identité décrit donc une solution (e, f) si e = ac + bd et f = ad + bc + bd. La découverte d'une multiplication particulière *, permet de construire autant de solutions que désiré, à partir d'une unique si elle n'est pas triviale :

$(a,b)*(c,d)=(ac+bd,ad+bc+bd)\;$

En combinant une solution (a, b) avec elle-même on en obtient une nouvelle (a² + b², 2a.b + b²). Le couple (1, 1) est solution de l'équation (1), donc le couple (2, 3) l'est aussi. Elle est d'ailleurs déjà obtenue avec la méthode précédente. Avec la solution (2, 3) on obtient (13, 21) et avec la solution (13, 21) on obtient (610, 987). On vérifie que le couple (610, 987) est bien une solution de l'équation :

$610^{2}+610\times 987-987^{2}=372\;100+602\;070-974\;169=1$

On en déduit que la fraction 987/610 est une excellente approximation du nombre d'or. En effet, 987/610 = 1,6180327... une précision proche du millionième.

Entier de Dirichlet

[même remarque]

Dans cette vision du nombre d'or, il existe une multiplication naturelle. L'adjonction de l'addition usuelle des couples d'entiers relatifs, définit par l'égalité suivante, confère à l'ensemble des couples (a, b) une structure équipée d'une addition et d'une multiplication appelé, en terme contemporain, un anneau.

$\forall a,b,c,d\in \mathbb {Z} \quad (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\;$

Si cet anneau est construit à partir d'une équation diophantienne connexe au nombre d'or, sa relation avec φ peut être vue plus directement. Il se conçoit simplement en considèrant les nombres réels de la forme a + φ.b, où a et b désignent deux nombres entiers. L'identité de Brahmagupta, définissant la multiplication se lit :

$(a+\varphi b)(c+\varphi d)=ac+(ad+bc)\varphi +bd\varphi ^{2}=(ac+bd)+\varphi (ad+bc+bd)\;$

Ainsi les puissances de φ sont tous de la forme a + φ.b, plus précisément φⁿ = u_n-1 + u_n.φ, où (u_n) désigne la suite de Fibonacci.

Ces deux anneaux possèdent des structures copie l'une de l'autre, le terme consacré pour décrire cette situation est celui d'isomorphisme. Un nombre réel de la forme a + φ.b est appelé un entier de Dirichlet. L'anneau des entiers de Dirichlet est le cadre naturel sous-jacent à toute l'arithmétique du nombre d'or. À certains égards, il est analogue à Z, l'ensemble des entiers naturels. Il est commutatif, et intègre. Le terme intègre signifie que si la multiplication de deux éléments α.β donne 0 alors soit α soit β est nul. La ressemblance est plus profonde, cet anneau est euclidien, c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Les outils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide, le théorème fondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de la division euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour l'arithmétique du nombre d'or. Cette analogie profonde pousse les arithméticiens à parler d'entiers pour décrire les éléments de cet ensemble. La compréhension de l'arithmétique de Z passe souvent par celles des nombres premiers. L'arithmétique du nombre d'or dispose aussi de ses nombres premiers de Dirichlet. Un nombre premier de Z n'est pas toujours premier dans l'arithmétique du nombre d'or, comme le montre le contre-exemple 19 :

$(4+3\varphi )(7-3\varphi )=28-9+(-12+21-9)\varphi =19\;$

Cette différence engendre des modifications dans l'application des théorèmes classiques. Par exemple si p est un nombre premier différent de 5 tel que le reste de sa division euclidienne par 5 soit un carré parfait, donc égal à 1 ou à 4, le petit théorème de Fermat indique que φ^p-1 - 1 est un multiple de p. Ceci montre que u_p-1 est un multiple de p ainsi que u_p-2 - 1, en effet, φ^p-1 - 1 = u_p-2 - 1 + u_p-1.φ. Les démonstrations sont proposées dans l'article détaillé.