Utilisateur:Anass imli 12010435/Rhind Mathematical Papyrus 2/n table

le Rhind Mathematical Papyrus,^[1]^[2] un ancient Egyptest un travail mathematical, comprend une mathematical table pour convertir rational numbers de la forme 2/n en Egyptian fractions (sommes différentes unit fractions), la forme que les Égyptiens utilisaient pour écrire les nombres fractionnaires. Le texte décrit la représentation de 50 nombres rationnels. Il a été rédigé pendant la" Second Intermediate Period of Egypt (approximativement 1650–1550 avant J.-C)^[3] par Ahmes, le premier écrivain en mathématiques dont le nom est connu. Certains aspects du document auraient pu être copiés à partir d'un texte datant d'environ 1850 avant J.-C., dont l'origine est inconnue.

Table

Le tableau suivant donne les expansions répertoriées dans le papyrus.

**2/n tableau du Papyrus mathématique de Rhind**
2/3Modèle:Figure space = 1/2 + 1/6	2/5Modèle:Figure space Modèle:Figure space = 1/3 + 1/15	2/7Modèle:Figure space = 1/4 + 1/28
2/9Modèle:Figure space = 1/6 + 1/18	2/11Modèle:Figure space = 1/6 + 1/66	2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30	2/17Modèle:Figure space = 1/12 + 1/51 + 1/68	2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42	2/23Modèle:Figure space = 1/12 + 1/276	2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54	2/29Modèle:Figure space = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232	2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66	2/35Modèle:Figure space = 1/30 + 1/42	2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78	2/41Modèle:Figure space = 1/24 + 1/246 + 1/328	2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90	2/47Modèle:Figure space = 1/30 + 1/141 + 1/470	2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102	2/53Modèle:Figure space = 1/30 + 1/318 + 1/795	2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114	2/59Modèle:Figure space = 1/36 + 1/236 + 1/531	2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126	2/65Modèle:Figure space = 1/39 + 1/195	2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138	2/71Modèle:Figure space = 1/40 + 1/568 + 1/710	2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150	2/77Modèle:Figure space = 1/44 + 1/308	2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162	2/83Modèle:Figure space = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498	2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174	2/89Modèle:Figure space = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890	2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186	2/95Modèle:Figure space = 1/60 + 1/380 + 1/570	2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198	2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606

Cette partie du Papyrus mathématique de Rhind était répartie sur neuf feuilles de papyrus.^[4]

Explications

Tout nombre rationnel a une infinité d'expansions possibles différentes sous forme de sommes de fractions unitaires, et depuis la découverte du Papyrus mathématique de Rhind, les mathématiciens ont eu du mal à comprendre comment les anciens Égyptiens ont pu calculer les expansions spécifiques présentées dans cette table.

Les suggestions de Gillings comprenaient cinq techniques différentes. Le problème 61 du Papyrus mathématique de Rhind présente une formule.

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

,^[5] qui peut être formulée de manière équivalente comme

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

(où 'n' est divisible par 3 dans cette dernière équation).^[6]

D'autres formules possibles sont les suivantes :^[6]

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

(n divisible par 5)

\!{\frac {2}{mn}}\!={\frac {1}{m}}\!{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n}}{\frac {1}{k}}

(où 'k' est la moyenne de 'm' et 'n')

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

. Cette formule fournit la décomposition pour 'n' = 101 dans le tableau.

On suggère qu'Ahmes ait converti 2/'p' (où 'p' était un nombre premier) avec deux méthodes, et trois méthodes pour convertir 2/'pq' (dénominateurs composés par 'pq')."composite denominators.^[6] Others have suggested only one method was used by Ahmes which used multiplicative factors similar to least common multiples.

Comparaison avec d'autres textes de tables

Un papyrus égyptien ancien plus ancien contenait une table similaire de fractions égyptiennes ; le"Lahun Mathematical Papyri, "rédigé vers 1850 av. J.-C., est d'environ de la même époque qu'une source inconnue du Papyrus Rhind. Les fractions 2/n de Kahun étaient identiques aux décompositions de fractions données dans la table 2/n du Papyrus Rhind.^[7]

The Egyptian Mathematical Leather Roll (EMLR), vers 1900 av. J.-C., répertorie les décompositions de fractions de la forme 1/n en d'autres fractions unitaires. La table était composée de 26 séries de fractions unitaires de la forme 1/n écrites sous forme de sommes d'autres nombres rationnels.".^[8]

Le Akhmim wooden tablet écrivit des fractions sous la forme 1/n en termes de sommes de nombres rationnels hekat, 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 et 1/13. Dans ce document, un ensemble de fractions en deux parties a été écrit en termes deEye of Horus fractions qui étaient des fractions de la forme $1 / 2 k$ "et les restes exprimés en termes d'une unité appelée ro. Les réponses étaient vérifiées en multipliant le diviseur initial par la solution proposée et en vérifiant que la réponse résultante était 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 ro, ce qui équivaut à 1."^[9]

References

↑ « {{{1}}} ». Reprint, Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979, (ISBN 0-87353-133-7).
↑ « {{{1}}} ».
↑ « {{{1}}} »
↑ « {{{1}}} ».
↑ « {{{1}}} ».
↑ ^{a b et c} « {{{1}}} ».
↑ « {{{1}}} »
↑ « {{{1}}} ». See in particular pages 21–22.
↑ « {{{1}}} ».

[1] « {{{1}}} ». Reprint, Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979, (ISBN 0-87353-133-7).

[2] « {{{1}}} ».

[3] « {{{1}}} »

[4] « {{{1}}} ».

[Clagett-5] « {{{1}}} ».

[Burton-6] {a b et c} « {{{1}}} ».

[7] « {{{1}}} »

[8] « {{{1}}} ». See in particular pages 21–22.

[9] « {{{1}}} ».

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