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Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

En mathématiques, l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg est une estimation portant sur les dérivées faibles d'une fonction donnée. Elle fait intervenir les normes $L^{p}$ de la fonction ainsi que ses dérivées. C'est un résultat particulièrement important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cette inégalité a été proposée par Louis Nirenberg et Emilio Gagliardo .

Énoncé

Soient $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction C^∞ à support compact, deux réels $1\leq q,r\leq \infty$ et un entier $m$. Soient $\alpha$ un réel et $j$ un entier naturel tels que

${\frac {1}{p}}={\frac {j}{n}}+\left({\frac {1}{r}}-{\frac {m}{n}}\right)\alpha +{\frac {1-\alpha }{q}}$

et

${\frac {j}{m}}\leq \alpha \leq 1.$

Alors, il existe une constante $C$ dépendant de $m,\ n,\ j,\ q,\ r$ et $\alpha$ telle que

$\|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }.$

Note

Pour une preuve de cette inégalité, voir théorème 9.3. La première condition sur $\alpha$ est l'homogénéité en $x$. La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée, $j$ ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec $\alpha$, i.e. $j\leq \alpha \ m$. Le cas limite interdit est $p=\infty$ lorsqu'il a la même homogénéité que $\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}$, sauf si $r=1$ auquel cas le résultat est trivial (en intégrant $m-j$ fois).

Conséquences

• Pour $\alpha =1$, la norme $L^{q}$ de $u$ dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
• Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'inégalité de Ladyzhenskaya, qui s'obtient pour $m=1,$ $j=0,$ $n=2$ ou $3,$ $q=r=2,$ et $p=4$.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010, 2nd edition
• (en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
• (en) Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 2ème édition

Articles connexes

• Espace d'interpolation

• Espace de Sobolev