Utilisateur:Bernard de Go Mars/Cx linéaire des prismes rectangulaires en régime de Stokes

Le Cx linéaire des prismes rectangulaires, d'après Sunada, Ishida, Tokutake et Okada

Dans un de leur texte FLUID DYNAMIC FORCE ACTING ON A RECTANGULAR SOLID IN A STOKES FLOW , complété par un autre FLUID DYNAMIC FORCES ACTING ON A RECTANGULAR PLATE WITH HOLE IN STOKES FLOW, Sunada, Ishida, Tokutake et Okada présentent leurs calculs, par la méthode BEM (Boundary Element Method, soit la Méthode des Intégrales aux Frontières) de la traînée de prismes rectangulaires de dimensions variables. Notre grand texte (hum : presque 500 pages...) donne certains autres de leurs résultats, en particulier ceux qui concernent les plaques minces rectangulaires. Aussi irons-nous assez vite ici dans l’exploitation de leurs travaux sur les prismes rectangulaires. Tout au plus répéterons-nous que ces auteurs utilisent, comme coefficient de Traînée, le double du Cx linéaire de Lamb. Nous disions d’ailleurs à ce propos : « On peut donc constater qu’ils sont en avance sur leur époque, époque où les chercheurs persistent à utiliser, pour le même usage, un Cx quadratique dénué de signification à ces Reynolds… ». Au demeurant, le choix de ce coefficient de Traînée par ces mêmes auteurs reste assez confus puisqu’il est toujours défini en passant par le Reynolds (celui-ci étant basé sur une dimension donnée des prismes ).

Prisme de largeur c, de longueur L = 6c et de hauteur h variant de c à 0 en mouvement transverse vertical :

Il est difficile de résumer en un titre le mouvement et la forme d’un parallélépipède rectangle ; mais le schéma présent dans le graphe ci-contre explicite au mieux ces données :

Cx linéaire du prisme 1x6 d'épaisseur variable en déplacement transverse

On note que lorsque la hauteur relative h/c varie, le Cx linéaire du prisme varie assez peu. Les ordonnées des courbes vertes à l’abscisse nulle sont suggérées par la logique (pas de surface => pas de force). L’ordonnée des deux courbes rouge et bleue est donc forcément la même (le Cx linéaire total, à l’abscisse nulle, étant un Cx linéaire de pression) ; nous avons pris cette ordonnée dans un autre texte de Sunada et coll. La petite remontée que cette ordonnée implique est assez curieuse (à tout le moins intéressante)…

Autres directions de déplacement pour ce prisme et autres prismes en déplacement dans d'autres directions

Nous ne pouvons reprendre, dans cette sous-page, l'ensemble de notre exploitation des textes de Sunada et coll. Nous renvoyons donc les personnes intéressées vers notre grand texte susnommé.

Avec de telles conventions, on peut regrouper les caractéristiques de Traînée des prismes de Sunada et coll. sous la forme ci-contre:

Cx linéaire du prisme 1x6 d'épaisseur variable en déplacement transverse

Lesdits prismes de Sunada dessinent sur ce graphe les courbes de couleurs. La courbe noire supérieure à marques bleu dense carrées est aussi tirée des textes de Sunada et coll. : c’est celle du prisme carré en déplacement axial. En reliant les marques de même allongement de section frontale (cet allongement étant précisé sur le graphe par des nombres noirs), nous avons tracé le carroyage de courbes noires. Ainsi qu’on l’a dit, l’allongement de la section frontale du prisme de section carrée est 1 : ce prisme dessine donc le carroyage noir du haut. La courbe noire du bas représente le Cx linéaire (réf. p/4) des plaques minces en déplacement coplanaire (cette courbe s’appuie sur cinq marques de Sunada. Les courbes noires intermédiaires ont juste été arrondies par nous manuellement pour suivre le mouvement des courbes noires supérieure et inférieure.

L'observation de ce graphe recèle certaines surprises :

D'abord il faut prendre conscience qu'il ne peut exister de marques représentant des prismes rectangulaires en dhors de notre carroyage (plus haut que la courbe noire marquée 1 et plus bas que la courbe noire marquée Infini).

On remarque d'autre part l’évasement disparate des carroyages 20 et Infini, ceux-ci pourtant appuyés sur des marques des auteurs japonais.

Sur ce même graphe, nous avons porté en bleu glauque l’allongement des marques expérimentales en + de Malaika et Heiss & Coull : leur répartition ne contredit nos carroyages.

Ces panoramas, basés sur les valeurs de Sunada que nous croyons exactes, nous apparaissent donc très seyants. La courbe pour l’allongement 10 nous étant apparue comme une simple translation verticale de la courbe pour l’allongement 1, et l’échelonnement des courbes étant très régulier, nous avons pensé à construire une régression générale donnant le Cx linéaire de n’importe quel prisme (dans certaines limites d’allongement et d’élancement). Voici le libellé de cette régression générale dans la langue de notre tableur :

= 0,0104*B13^3 -0,219*B13^2 +3,43*B13 +9,741 -0,0012*F11^3 +0,0318*F11^2 -0,4119*F11

…du moins si B13 est l’élancement p/4 du prisme et si F11 est l’allongement de sa section frontale.

Dans la plage d’élancements p/4 allant de 1 et 8 et pour un allongement de section frontale compris entre 1 et 10, cette régression ne commet que des erreurs inférieures ou égales à 1%. Cette régression rendra peut-être des services… S’agissant d’allongements de section frontale plus forts (allongements au-delà de 40 ou 50) la régression :

= 0,0052*B13^3 -0,17* B13 ^2 + 3,44* B13 + 5,8 +33/(F11+8,45)

…donne le Cx linéaire (réf. p/4) des prismes d’élancement 1 à 12 à moins de 3% près, toujours si B13 est l’élancement p/4 du prisme et si F11 est l’allongement de sa section frontale.…

Comparaison de ce carroyage (d’après Sunada et coll.) avec celui que nous avions construit d’après les mesures de Sheaffer sur ses prismes :

Comme nous l’avons déjà dit, nous pensons que les auteurs japonnais disent le vrai. Encore faut-il que ce vrai soit compatible avec les mesures de Sheaffer que nous avons exploité dans notre grand texte.

À la fin de cette exploitation des mesures de Sheaffer, nous avions émis une régression valide pour les élancements p/4 allant de 6 à 19 et pour les allongements de section frontale allant de 1 à 10 :

Cxlin Réf.L = 8,1 All^(-0,045) Élan^(-0,4)

…All étant l’allongement de la section frontale des prismes et Élan leur élancement p/4.

Lorsque l'on dessine les carroyages que produit la régression ci-dessus, on peut remarquer (voir toujours notre grand texte) que ceux-ci sont bien dans le bon ordre de grandeur. Nous sommes donc ici témoins d’une rencontre très satisfaisante entre les mesures en bassin de décantation et les calculs mathématiques. Comme nous l’avons déjà dit, cependant, nous pensons que ce ce sont les valeurs de Sunada et coll. qui disent la vérité.