Utilisateur:Bexandre2002/Brouillon/Logique pertinente

Paradoxes de l'implication matérielle

Systèmes logiques pertinents

FDE

Déduction naturelle

B

R

Fusion et fission

Applications en mathématiques

En didactique des mathématiques

Quantificateurs

Rédaction dans RQ

R^# et R^#

Sémantique et modèles

Modèles de Routley-Meyer

Si un modèle fonctionnel bivalent donne la logique standard, avec tous ses paradoxes, la sémantique de Routley-Meyer permet d'interpréter ces différentes logiques de manière bivalente sans retrouver tous les paradoxes de l'implication matérielle que nous cherchions alors à éviter^[1].

Pour ce faire, Routley et Meyer définissent une relation ternaire entre des configurations (« set-ups »), relation que nous noterons $a ◃ b ◂ c$ pour des configurations $a, b, c$ concernées afin de rendre le tout plus lisible. Les configurations sont l'équivalent, dans cette sémantique, des mondes possibles de la sémantique de Kripke de laquelle s'inspire celle de Routley-Meyer.

On posera également $0$ la configuration initiale, de laquelle découle la relation binaire $a ◂ b$ définie comme $0 ◃ a ◂ b$ . Enfin, il est habituel de définir la configuration duale d'une configuration quelconque a comme une configuration a* telle que la configuration biduale (a*)* est égale à a.

Toute formule est alors interprétée en fonction de ces configurations, avec des fonctions d'interprétation $I (A, a)$ qui prennent A une formule et a une configuration, et renvoient soit vrai, soit faux. Si $a ◂ b$ , si $I (A, a)$ est vraie, alors $I (A, b)$ est vraie. D'ores et déjà, on peut établir les tables de vérité suivantes pour une configuration $a$ :

$I (\neg A, a)$	$I (A, a^{*})$
vraie	fausse
fausse	vraie

$I (A \land B, a)$	$I (B, a)$ vraie	$I (B, a)$ fausse
$I (A, a)$ vraie	vraie	fausse
$I (A, a)$ fausse	fausse	fausse

$I (A \lor B, a)$	$I (B, a)$ vraie	$I (B, a)$ fausse
$I (A, a)$ vraie	vraie	vraie
$I (A, a)$ fausse	vraie	fausse

Pour l'implication, la règle est la suivante : $I (A \to B, a)$ est vraie si et seulement si, pour tous contextes $b, c$ , si $a ◃ b ◂ c$ , si $I (A, b)$ est vraie, alors $I (B, c)$ est vraie.

Comme pour les sémantiques de Kripke, les axiomes que l'on rajoute afin de restreindre cette relation ternaire permettent de faire des modèles de logiques plus fortes. À l'instar des sémantiques fonctionnelles usuelles, on écrira ${A^{'}, A^{″}, \dots, A^{(k)}} ⊨ B$ si et seulement si pour toute configuration a, pour toute fonction d'interprétation $I (\cdot, \cdot)$ , si $I (A^{'}, a)$ , si $I (A^{″}, a)$ , …, si $I (A^{(k)}, a)$ , alors $I (B, a)$ .

Monoïdes de De Morgan

Les monoïdes de De Morgan permettent de donner une sémantique saine et complète pour R, permettant d'étudier ce système logique algébriquement^[2] à l'instar des algèbres de Boole pour la logique standard, plus généralement les algèbres de Heyting pour la logique intuitionniste. Ces structures algébriques partent d'un ensemble E qu'on munit de structures de treillis distributif $⟨ E, \land, \lor ⟩$ , d'une structure de monoïde commutatif $⟨ E, \circ, e ⟩$ , enfin d'une opération interne unaire $\neg$ involutive, qui vérifient les propriétés suivantes pour tous éléments $x, y, z \in E$ : Les propriétés de contraposition telles que si $x \leq y$ , alors $\neg y \leq \neg x$ d'une part, si $x \circ y \leq z$ , alors $x \circ \neg z \leq \neg y$ d'autre part ; La propriété de monoïde ordonné par treillis $x \circ (y \lor z) = (x \circ y) \lor (x \circ z)$ ; La relation de curryfication telle que s'équivalent $x \circ y \leq z$ d'une part, $x \leq y \to z$ , où l'opération d'implication $y \to z$ est défini comme $\neg (y \circ \neg z)$ ; Enfin, que $x \leq x \circ x$ .

On définit alors ce qu'est une interprétation v sur un monoïde de De Morgan $⟨ E, \land, \lor, \circ, e, \neg ⟩$ qui, à l'instar des sémantiques fonctionnelles, associe à chaque formule A du langage des formules logiques un élément v(A) de E, qui pour toutes formules $A, B$ préserve la négation $v (\neg A) = \neg v (A)$ , la conjonction $v (A \land B) = v (A) \land v (B)$ , la disjonction $v (A \lor B) = v (A) \lor v (B)$ , la fusion $v (A \circ B) = v (A) \circ v (B)$ , enfin l'implication $v (A \to B) = v (A) \to v (B) := \neg (v (A) \circ \neg v (B))$ . Grâce à cela, s'équivalent que $⊢_{R} A$ d'une part, que $e \leq v (A)$ pour toute interprétation sur tout monoïde de De Morgan d'autre part. Cela apporte alors une sémantique complète et saine pour R.

Un exemple de monoïde de De Morgan est donné par $⟨ {0, 1, 2, 3}, min, max, \circ, 1, \neg ⟩$ dont sont définies $\circ, \neg$ ainsi :

$\circ$	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
1	2	3	3
1	3	3	3

$A$	0	1	2	3
$\neg A$	3	2	1	0

Notes et références

Notes

Références

↑ Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées "sylvanmeyer73"
↑ (en) Nuel Belnap, Entailment : The Logic of Relevance and Neccessity, vol. 1, Princeton University Press, 1975 (ISBN 0-691-07192-6).

Articles connexes

[sylvanmeyer73-1] Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées "sylvanmeyer73"

[2] (en) Nuel Belnap, Entailment : The Logic of Relevance and Neccessity, vol. 1, Princeton University Press, 1975 (ISBN 0-691-07192-6).

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