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Formule d'Euler-Maclaurin

• Formule d'Euler-Maclaurin#Majorations du reste

Majorations du reste

Si f est une fonction complexe 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice pair : $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{2k}(t)|=|b_{2k}|$ :

$|R_{k}|\leqslant {\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(x)\right|\mathrm {d} x$.

Par exemple, avec $b_{2}={\frac {1}{6}}$, on a : $|R_{1}|\leqslant {\frac {1}{12}}\int _{p}^{q}\left|f''(x)\right|\mathrm {d} x$.

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler (pour k ≥ 1) : ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2k}}}={\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\zeta (2k)$. On déduit que ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}$ (on a l'équivalent : ${\frac {|b_{2k}|}{(2k)!}}\sim {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}$).

$|R_{k}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k)}(t)\right|\mathrm {d} t$.

Si f est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli d'indice impair : $|B_{2k+1}(t)|\leqslant (k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|$ si $t\in [0\,;\,1]$ :

$|R_{k}|\leqslant {\frac {(k+{\frac {1}{2}})|b_{2k}|}{(2k+1)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|b_{2k}|}{2(2k)!}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x={\frac {|\zeta (2k)|}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x$.

on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin :

$|R_{k}|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2k}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(t)\right|\mathrm {d} t$.

Cohen donne la majoration suivante des polynômes de Bernoulli d'indice impair : $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{2k+1}(t)|\leqslant {\frac {2\pi |b_{2k+2}|}{2k+2}}={\frac {2(2k+1)!\,\zeta (2k+2)}{(2\pi )^{2k+1}}}$, avec comme conséquence :

$|R_{k}|\leqslant {\frac {2\zeta (2k+2)}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x\leqslant {\frac {2\zeta (2)}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x$

Avec la majoration $|B_{2k+1}(t)|\leqslant {\frac {2(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}$ (si $t\in [0\,;\,1]$) démontrée par Derrick Lehmer, on obtient l'inégalité : $|R_{k}|\leqslant {\frac {2}{(2\pi )^{2k+1}}}\int _{p}^{q}\left|f^{(2k+1)}(x)\right|\mathrm {d} x$

Pour le polynôme de Bernoulli B₃(t), on a le maximum $\sup _{t\in [0\,;\,1]}|B_{3}(t)|={\frac {\sqrt {3}}{36}}$ qui permet d'obtenir la majoration :

$|R_{1}|\leqslant {\frac {\sqrt {3}}{216}}\int _{p}^{q}\left|f^{(3)}(t)\right|\mathrm {d} t$.

Leçons de mathématiques d'aujourd'hui

• Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, Ecole doctorale de Mathématiques et Informatique de Bordeaux

Année universitaire 2010-2011

• Laure SAINT-RAYMOND (ENS Paris): L'équation de Boltzmann : état de l'art et perspectives

Année universitaire 2009-2010

• Arnaud BEAUVILLE (Université de Nice) : "La théorie de Hodge et quelques applications"
• BISMUT Jean-Michel (Université d'Orsay) : Laplacien hypoelliptique et théorème de l'indice
• Christophe SOULE (IHES) : La théorie d'Arakelov

Année universitaire 2008-2009

• François LOESER (Ecole Normale Supérieure) : "de l'intégration p-adique à l'intégration motivique"
• Gilles DOWEK (Ecole Polytechnique) : Algorithmes et modèles : l'histoire d'une convergence
• Mikhail ZAIDENBERG (Université Grenoble 1) : Deux essais sur la géométrie affine

Année universitaire 2007-2008

• Persi DIACONIS (Université de Stanford) : Polynômes chromatiques et le problème des anniversaires
• J. KEATING (Université de Bristol) : Random matrices and the Riemann zeta-function

Année universitaire 2006-2007

• Sergiu KLAINERMANN (Université de Princeton) : Main open problems and recent results in General Relativity

+ Pansu et Frohlich

Groupes d'homotopie

	πn	πn+1	πn+2	πn+3	πn+4	πn+5	πn+6	πn+7	πn+8	πn+9	πn+10	πn+11	πn+12	πn+13	πn+14	πn+15
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S3	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S4	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26
S5	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504×Z22
S6	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72×Z2
S7	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24
S8	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24
S9	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z23
S10	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z240	Z22

Experiment with table format

Clean and colored

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22
S3	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120
S9	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2

Complete piped

	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7	n = 8	n = 9	n = 10	n = 11	n = 12	n ≥ k + 2
k = 0												Z
k = 1	Z											2
k = 2	2	2										2
k = 3	2	12	Z + 12									24
k = 4	12	2	22	2								0
k = 5	2	2	22	2	Z							0
k = 6	2	3	24 + 3	2	2	2						2
k = 7	3	15	15	30	60	120	Z + 120					240
k = 8	15	2	2	2	8 + 6	23	24	23				22
k = 9	2	22	23	23	23	24	25	24	Z + 23			23
k = 10	22	12 + 2	40 + 4 + 2 + 32	18 + 8	18 + 8	24 + 2	82 + 2 + 32	24 + 2	12 + 2	22 + 3		2 + 3
k = 11	12 + 2	84 + 22	84 + 25	504 + 22	504 + 4	504 + 2	504 + 2	504 + 2	504	504	Z + 504	504
k = 12	84 + 22	22	26	23	240	0	0	0	4 + 3	2	22	See below
k = 13	22	6	8 + 22 + 32	22 + 3	6	6	22 + 3	6	6	22 + 3	22 + 3
k = 14	6	30	840 + 9 + 22	22 + 3	12 + 2	24 + 4	60 + 48 + 8	16 + 4	16 + 2	16 + 2	24 + 16
k = 15	30	30	30	15 + 22	10 + 4 + 32	120 + 23	120 + 25	240 + 23	240 + 22	30 + 16	30 + 16
k = 16	30	22 + 3	23 + 32	22	504 + 22	24	27	24	30 + 16	2	2
k = 17	22 + 3	12 + 22	8 + 42 + 22 + 32	4 + 22	24	24	25 + 3	24	23	23	24
k = 18	12 + 22	12 + 22	40 + 4 + 25 + 32	24 + 22	8 + 22 + 32	24 + 2	82 + 42 + 9	8 + 2 + 3	8 + 22 + 3	8 + 4 + 2	32 + 30 + 42
k = 19	12 + 22	132 + 2	132 + 25	66 + 8	264 + 32	264 + 2	264 + 2	264 + 2	22 + 32	264 + 23	264 + 25

	n = 13	n = 14	n = 15	n = 16	n = 17	n = 18	n = 19	n = 20	n ≥ k + 2
k = 12	2								0
k = 13	6	Z + 3							3
k = 14	16 + 2	8 + 2	4 + 2						22
k = 15	32 + 30	32 + 30	32 + 30	Z + 32 + 30					32 + 30
k = 16	2	8 + 6	23	24	23				22
k = 17	24	24	25	26	25	Z + 24			24
k = 18	82 + 2	82 + 2	83 + 2 + 3	83 + 2 + 3	82 + 2	8 + 6	8 + 22		8 + 2
k = 19	264 + 23	66 + 8 + 4	264 + 22	8 + 22 + 3 + 11	264 + 22	66 + 8	66 + 8	Z + 66 + 8	132 + 8

Complete and uncluttered

	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5	n = 6	n = 7	n = 8	n = 9	n = 10	n = 11	n = 12	n ≥ k + 2
k = 0												Z
k = 1	Z											2
k = 2	2	2										2
k = 3	2	12	Z + 12									24
k = 4	12	2	22	2								0
k = 5	2	2	22	2	Z							0
k = 6	2	3	24 + 3	2	2	2						2
k = 7	3	15	15	30	60	120	Z + 120					240
k = 8	15	2	2	2	8 + 6	23	24	23				22
k = 9	2	22	23	23	23	24	25	24	Z + 23			23
k = 10	22	12 + 2	40 + 4 + 2 + 32	18 + 8	18 + 8	24 + 2	82 + 2 + 32	24 + 2	12 + 2	22 + 3		2 + 3
k = 11	12 + 2	84 + 22	84 + 25	504 + 22	504 + 4	504 + 2	504 + 2	504 + 2	504	504	Z + 504	504
k = 12	84 + 22	22	26	23	240	0	0	0	4 + 3	2	22	See below
k = 13	22	6	8 + 22 + 32	22 + 3	6	6	22 + 3	6	6	22 + 3	22 + 3
k = 14	6	30	840 + 9 + 22	22 + 3	12 + 2	24 + 4	60 + 48 + 8	16 + 4	16 + 2	16 + 2	24 + 16
k = 15	30	30	30	15 + 22	10 + 4 + 32	120 + 23	120 + 25	240 + 23	240 + 22	30 + 16	30 + 16
k = 16	30	22 + 3	23 + 32	22	504 + 22	24	27	24	30 + 16	2	2
k = 17	22 + 3	12 + 22	8 + 42 + 22 + 32	4 + 22	24	24	25 + 3	24	23	23	24
k = 18	12 + 22	12 + 22	40 + 4 + 25 + 32	24 + 22	8 + 22 + 32	24 + 2	82 + 42 + 9	8 + 2 + 3	8 + 22 + 3	8 + 4 + 2	32 + 30 + 42
k = 19	12 + 22	132 + 2	132 + 25	66 + 8	264 + 32	264 + 2	264 + 2	264 + 2	22 + 32	264 + 23	264 + 25

	n = 13	n = 14	n = 15	n = 16	n = 17	n = 18	n = 19	n = 20	n ≥ k + 2
k = 12	2								0
k = 13	6	Z + 3							3
k = 14	16 + 2	8 + 2	4 + 2						22
k = 15	32 + 30	32 + 30	32 + 30	Z + 32 + 30					32 + 30
k = 16	2	8 + 6	23	24	23				22
k = 17	24	24	25	26	25	Z + 24			24
k = 18	82 + 2	82 + 2	83 + 2 + 3	83 + 2 + 3	82 + 2	8 + 6	8 + 22		8 + 2
k = 19	264 + 23	66 + 8 + 4	264 + 22	8 + 22 + 3 + 11	264 + 22	66 + 8	66 + 8	Z + 66 + 8	132 + 8

Current

Sn →	S0	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8	S9	S10	S11	S12	S≥13
π<n(Sn)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π0+n(Sn)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π1+n(Sn)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π2+n(Sn)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π3+n(Sn)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π4+n(Sn)	⋅	⋅	12	2	22	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π5+n(Sn)	⋅	⋅	2	2	22	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π6+n(Sn)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π7+n(Sn)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π8+n(Sn)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	23	24	23	22	22	22	22
π9+n(Sn)	⋅	⋅	2	22	23	23	23	24	25	24	∞⋅23	23	23	23
π10+n(Sn)	⋅	⋅	22	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	242⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π11+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅22	84⋅25	504⋅22	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π12+n(Sn)	⋅	⋅	84⋅22	22	26	23	240	⋅	⋅	⋅	12	2	22	See below
π13+n(Sn)	⋅	⋅	22	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π14+n(Sn)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π15+n(Sn)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅23	120⋅25	240⋅23	240⋅22	240⋅2	240⋅2
π16+n(Sn)	⋅	⋅	30	6⋅2	62⋅2	22	504⋅22	24	27	24	240⋅2	2	2
π17+n(Sn)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅22	24⋅12⋅4⋅22	4⋅22	24	24	6⋅24	24	23	23	24
π18+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅22	12⋅22	120⋅12⋅25	24⋅22	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅22	8⋅4⋅2	480⋅42⋅2
π19+n(Sn)	⋅	⋅	12⋅22	132⋅2	132⋅25	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅23	264⋅25

Sn →	S13	S14	S15	S16	S17	S18	S19	S20	S≥21
π12+n(Sn)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π13+n(Sn)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π14+n(Sn)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	22	22	22	22	22	22
π15+n(Sn)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π16+n(Sn)	2	24⋅2	23	24	23	22	22	22	22
π17+n(Sn)	24	24	25	26	25	∞⋅24	24	24	24
π18+n(Sn)	82⋅2	82⋅2	82⋅2	24⋅82⋅2	82⋅2	8⋅4⋅2	8⋅22	8⋅2	8⋅2
π19+n(Sn)	264⋅23	264⋅4⋅2	264⋅22	264⋅22	264⋅22	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Chopped and colored

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7
S1	Z	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)
S3	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)
S4	0	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z×Z/(12)
S5	0	0	0	0	Z	Z/(2)	Z/(2)
S6	0	0	0	0	0	Z	Z/(2)
S7	0	0	0	0	0	0	Z

	πn+0	πn+1	πn+2	πn+3	πn+4	πn+5	πn+6
S1	Z	0	0	0	0	0	0
S2	Z	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)	Z/(2)
S3	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(12)	Z/(2)	Z/(2)	Z/(3)
S4	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z×Z/(12)	Z/(2)2	Z/(2)2	Z/(24)×Z/(3)
S5	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	Z/(2)	Z/(2)	Z/(2)
S6	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	0	Z	Z/(2)
S7	Z	Z/(2)	Z/(2)	Z/(24)	0	0	Z/(2)