Utilisateur:Chassain/Brouillon3
En théorie des probabilités, le théorème de représentation de Skorokhod montre qu'une suite de variables aléatoires convergeant en loi peut toujours, en un certain sens, être représentée par une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement. Ce théorème porte le nom du mathématicien ukrainien A.V. Skorokhod.
Énoncé
modifierSoit Xn, n ≥ 1, une suite de variables aléatoires sur un espace topologique S, de Lusin. Supposons que Xn converge en loi vers une variable aléatoire X à valeurs dans S as n → ∞. Alors il existe un espace de probabilité (Ω, F, P), et des variables aléatoires Yn, Y définies sur cet espace de probabilité (Ω, F, P), telles que :
- Pour chaque entier n, Yn et Xn ont même loi;
- Les variables aléatoires Y et X ont même loi;
- et
- Yn converge (Ω, F, P) presque sûrement vers Y.
Démonstration dans le cas réel
modifierOn suppose donc que S est la droite réelle. On note Fn la fonction de répartition de Xn, et on note F la fonction de répartition de X, et on considère les réciproques généralisées de F et Fn, définies pour ω dans ]0,1[ par
De plus, on pose
On a
Lemme — C est au plus dénombrable.
Lemme — Pour
On conclut en remarquant, à l'aide du théorème de la réciproque, que Yn et Xn ont même loi, mais aussi que Y et X ont même loi.
Voir aussi
modifierRéférences
modifier- (en) Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., (ISBN 0-471-19745-9) (see pp 70)
- (en) L. C. G. Rogers et David Williams, Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 1 : Foundations, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Mathematical Library », , 2e éd., 406 p. (ISBN 0521775949 et 978-0521775946), chap. 6 (« Probability measures on Lusin spaces »), section 86 The Skorokhod representation of Cb(S) convergence on Pr(S), pp. 215-216.