Claudius

fr Ma langue maternelle est le français.

Votre serviteur

• Je suis français, ingénieur Logiciel R&D.

• J'habite en région parisienne à Élancourt dans les Yvelines, France.

• Je suis particulièrement passionné par la grande et la petite histoire des Mathématiques, les Mathématiques appliquées, l'Algorithmique, les Grands Nombres, les nombres $e\,$, $-1\,$, $i\,$, $\pi \,$ et $\varphi \,$, la Physique, la langue française avec sa richesse et ses subtilités et les Technologies de l'information.

• Je suis un fervent partisan du partage de l'information sous quelle que forme que ce soit.
• Site web personnel avec notamment un Calculateur Formel de Polynômes écrit en langage Rust.

Mes modestes contributions depuis mars 2005

• Erdös et son Nombre
• Hardy et Ramanujan
• Euler et son Identité
• Ulam et sa Spirale
• Résolution de l'équation de Pell
• C++11 car très en retard par rapport à mon expérience quotidienne...
• ...
• Dernières contributions

En cours

• Intégrales de Wallis et leur lien avec la formule de Stirling
• Constante de Catalan
• Carré magique

À venir

• Ronald Graham (ami et collaborateur très proche de Erdös, mathématicien aux Laboratoires AT&T Bell, son Nombre Record, etc.)
• Frank Ramsey et la Théorie de Ramsey

Ouvrages de référence

Liste de livres

• Godfrey Harold Hardy : L'apologie d'un mathématicien (Éditions BELIN, 1985 - (ISBN 2-7011-0530-7))
• Paul Hoffman : Erdös, l'homme qui n'aimait que les nombres (Éditions BELIN, 2000 - (ISBN 2-7011-2539-1))
• Jean-Paul Delahaye :

$\cdot$ Le fascinant nombre $\pi \,$ (Pour La Science, Belin, 1997 - (ISBN 2-9029-1825-9))

$\cdot$ Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, Belin - Pour la Science, 2000 - (ISBN 2701150175)

$\cdot$ Les inattendus mathématiques : Art, casse-tête, paradoxes, superstitions, Belin - Pour la Science, 2004 - (ISBN 2842450736)

• Alain Bouvier $\cdot$ Michel George $\cdot$ François Le Lionnais : Dictionnaire des mathématiques (PUF, 1979 - (ISBN 2-13-047821-2))

• John H. Conway, Richard K. Guy; Le livre des Nombres (Eyrolles, 1998 - (ISBN 2-212-03638-8))

• Roger B. Nelsen :

$\cdot$ Proofs without Words (Exercices in Visual Thinking) (The MAA, 1993 - (ISBN 0-88385-700-6))

$\cdot$ Proofs without Words II (More Exercices in Visual Thinking) (The MAA, 2000 - (ISBN 0-88385-721-9))

• Jörg ARNDT & Christoph HAENEL : À la poursuite de $\pi \,$ (VUIBERT, 2006 - (ISBN 2-7117-7170-9))

• Benoît Rittaud : Le fabuleux destin de ${\sqrt {2}}$ (Éditions Le Pommier 2006 - (ISBN 2-74650275-5))

• Bibliothèque Tangente : Grands mathématiciens modernes (Éditions POLE - Paris 2006 - (ISBN 2-84884-05-44))

• Albert Ducrocq & André Warusfel : Les mathématiques, plaisir et nécessité (VUIBERT, 2004 - (ISBN 2-02-061261-5))

 

Cueillette

Liste de liens utiles

• Conventions typographiques
• Syntaxe wikipédia
• Les tableaux
• Formules TeX
• Trucs et astuces
• Importation d'images
• Statistiques
• Notes et références

 

Travail en cours

Etude et application des 2 articles suivants en vue de compléter les pages Distance et Compression de données (cf. leur page de discussion) :

• http://homepages.cwi.nl/~paulv/papers/SimilarityV3.pdf
• http://homepages.cwi.nl/~paulv/papers/cluster.pdf

Dans l'article en français, la formule de la distance n'est pas symétrique alors qu'il me semble que l'on peut la rendre symétrique (car c(AB) est différent de c(BA) pour des compresseurs non parfaits comme gzip) par le changement, trop simple peut être, de "c(A) + c(B) - c(AB)" par "c(A) + c(B) - max[c(AB), c(BA)]" .

Sauf erreur de ma part, c'est toujours une distance car cela revient à ajouter à la définition d'origine (qui a été par ailleurs, démontrée comme une distance pour des compresseurs parfaits), le terme positif ou nul égal à "{ max[c(AB), c(BA)] - c(AB) } / max[c(A), c(B)] "

Bac à sable

$4^{N}\cdot \prod _{n=1}^{N}\left(\cos ^{2}({\frac {n\pi }{2N+1}})+{\frac {1}{4}}\right)=F(2N+1)$ (F(N) étant tout simplement le Nième nombre de Fibonacci - cf. Bestiaire de formules)

$4^{N\cdot P}\cdot \prod _{n=1}^{N}\prod _{p=1}^{P}\left(\cos ^{2}({\frac {n\pi }{2N+1}})+\cos ^{2}({\frac {p\pi }{2P+1}})\right)$ prend ses valeurs parmi les nombres entiers. Pour cause, ces valeurs sont les nombres de façons différentes de paver un rectangle 2N x 2P par un domino 2 x 1.

Forme ascendante d'une fraction continue,

$x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}$ qui est égale à :

${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots$ correspondant au développement en série de Engel.

Exemple d'une série hypergéométrique :

$1\ -1!+2!-3!+4!-5!+\cdots$

Sa résolution consiste à remarquer que la série

$y=x-1!\cdot x^{2}+2!\cdot x^{3}-3!\cdot x^{4}+4!\cdot x^{5}-5!\cdot x^{6}+\cdots$

est formellement une solution de l'équation différentielle d'Euler :

$x^{2}\cdot y'+y=x\,$

Démonstration

$y=x-1!\cdot x^{2}+2!\cdot x^{3}-3!\cdot x^{4}+4!\cdot x^{5}-5!\cdot x^{6}+6!\cdot x^{7}-7!\cdot x^{8}+\cdots$

$y'=1-1!\cdot 2x+2!\cdot 3x^{2}-3!\cdot 4x^{3}+4!\cdot 5x^{4}-5!\cdot 6x^{5}+6!\cdot 7x^{6}-7!\cdot 8x^{7}+\cdots$

$x^{2}\cdot y'=x^{2}-2!\cdot x^{3}+3!\cdot x^{4}-4!\cdot x^{5}+5!\cdot x^{6}-6!\cdot x^{7}+7!\cdot x^{8}-8!\cdot x^{9}+\cdots$

 

Une solution s'exprime à l'aide de $\ I(x)$, l'intégrale de la fonction $\ e^{\frac {-t}{x}}/(1+t)$ pour t entre 0 et l'infini.

Démonstration

TBC

 

Euler proposa cette intégrale comme somme de la série

$y=x-1!\cdot x^{2}+2!\cdot x^{3}-3!\cdot x^{4}+4!\cdot x^{5}-5!\cdot x^{6}+\cdots$

et le nombre $\ I(1)$ pour celle de l'hypergéométrique.

Méthode générale pour représenter en un nombre surréel le nombre dyadique ${\frac {N}{2^{p}}}=\left\{{\frac {N-1}{2^{p}}}|{\frac {N+1}{2^{p}}}\right\}$ avec $N$ impair et $p$ entier $\geqslant 1$ .

Description

cf. le document Nombres Surréels et nombres Dyadiques.

 

Il découle de cette démonstration les relations suivantes :

Les nombres surréels $\left\{L|R\right\}$ avec $L$ et $R$ non vides sont les nombres dyadiques égaux à ${\frac {{L}+{R}}{2}}$ . Les nombres $L$ et $R$ étant également des nombres dyadiques.

Tous les nombres dyadiques de la forme ${\frac {2n-3}{2}}$ avec $n\geqslant 2$ sont représentés par les nombres surréels $\left\{(n-2)|(n-1)\right\}$

Tous les nombres dyadiques de la forme ${\frac {1}{2^{p}}}$ avec $p\geqslant 1$ sont représentés par les nombres surréels $\left\{0|{\frac {1}{2^{p-1}}}\right\}$

Tous les nombres dyadiques de la forme ${\frac {2^{p}-1}{2^{p}}}$ avec $p\geqslant 1$ sont représentés par les nombres surréels $\left\{{\frac {2^{p-1}-1}{2^{p-1}}}|1\right\}$

Extrait de code Latex de Desmos

$x_{200}=R_{2}\cdot s_{2}\cdot \cos \left(\arctan \left({\frac {y_{21}-y_{20}}{x_{21}-x_{20}}}\right)\right)+{\frac {D}{2}}$

$y=-{\sqrt {L^{2}-\left(x-{\frac {D}{2}}\right)^{2}}}$

Prépublications

Exemple qui réalise l'extraction d'un nom de fichier à l'image de la commande basename :

auto basename([] (const std::string &str) {  // Spécification du retour explicite '-> const char *' inutile
    size_t pos = str.find_last_of("/\\");    // Séparateurs pour Linux et Windows
    const char *start = str.c_str();
    return pos != std::string::npos ? start + pos + 1 : start;
});

std::cout << "[" << str << "] -> [" << basename(str) << "]\n";  // Utilisation