Utilisateur:Cm8/Bac à sable

Occurrences des nombres 1, 2, 3 et 5

Sur les premières racines

${\sqrt {2}}=1,(4)1(4)\,213\,5(6)2...$

${\sqrt {3}}=1,(7)32\,050...\$

${\sqrt {4}}=2$

${\sqrt {5}}=2,23(6)...\$

Dans le début du développement ci-dessus de √3 on peut trouver assez aisément, d'une façon intuitive, que le nombre qui suit "050" est 8 (ou « 8 ou 9 ») : 1,(7)32 050 8...

Voir aussi Régularité dans les développements décimaux illimités et Nombre normal

À partir de la racine suivante les occurences ne sont plus aussi remarquables :

${\sqrt {6}}=2,449\,489\,74...\$

Ensuite elles deviennent pseudo-aléatoires.

Sur le nombre d'or

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=x$

Mise en équation :

$x^{2}-x-1=0$

On en déduit :

${\frac {1}{2}}=x-{\frac {\sqrt {5}}{2}}$

$1=x-{\frac {1}{x}}$

$2=x+{\frac {1}{x^{2}}}$

$3={x^{2}}+{\frac {1}{x^{2}}}$ → L’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtes adjacents à l’angle droit sont respectivement $\varphi$ et ${\frac {1}{\varphi }}$ , est donc : ${\sqrt {3}}$

Les côtés de ce triangle rectangle sont composés, grâce à $\varphi$ , des nombres 1, 2, 3 et 5 ; sa surface est composée des nombres 1 et 2 puisque qu'elle vaut ½

Le premier triplet pythagoricien primitif est : 3, 4 , 5.

1, 2, 3, 5 sont les premiers nombres de la suite de Fibonacci.

En allant plus loin :

$\varphi =2\cos {\frac {\pi }{5}}$ , $π$ valant 3,1(4)1 5 ...

4 ; 1 et 5. Symbolisme

Le 4 dans un symbolisme peu connu de la mystique chrétienne (voir cet ouvrage (citations), symbolisme repris par Bernard Werber dans Pouvoir des chiffres, page 29 (édition : 2000).

Parmi les premiers entiers naturels non nuls, le 4, situé entre le 3 et le 5, est un nombre un peu particulier. Avec sa forme en croix, il représente un carrefour, l’« heure du choix », choix entre descendre vers le 3 (animalité), ou monter vers le 5 (l'homme spirituel). Le 4 est un pont entre matière et esprit. Il est Lien, Équilibre, Conscience, Co-naissance.
Le 4, l’heure du choix, vous voulez une (pseudo) preuve ? Un jour de 1994, épuisé à force de lutter sans résultat, j’ai écrit une lettre professionnelle (sur une Remington que j'ai toujours) qui allait provoquer un heureux bouleversement. Après l’avoir écrite, conscient que cette lettre aurait un certain impact (lequel ?), j’ai voulu en noter la date pour m'en souvenir. Je regarde alors ma montre dateur, nous étions le 4 avril. Il était 4 heures du matin. En additionnant les chiffres qui composent le 4-4-1994, on trouve 31. En additionnant le 3 et le 1 du 31, on trouve 4. Pour Pythagore, le 4 symbolise la justice. C’est beau le 4. Mais je préfère encore le 5. Et encore plus le 8. J’en oublie. Regardez cette curiosité du 8 aussi.

Le 1 (1, sade minéral : juste un trait, mais aussi 1, l'Unité divine), et le 5 (5, l'homme spirituel), figurent en bonne place dans le nombre d'or, le 2 ne faisant qu'établir la moyenne arithmétique).

Voir aussi Symbolisme des nombres

Phi : symbolisme et mnémotechnique

Un moyen intéressant de mémoriser ce nombre (et un peu de son histoire aussi), d'après ce que nous avons vu plus haut, est de faire appel aux concepts, à l'instar de Luca Pacioli (voir Nombre d'or), qui considérait cette « divine proportion » comme « un idéal envoyé du ciel ». On peut voir ce nombre comme un lien – ou mieux, une relation privilégiée – entre l'unité divine et l'origine de l'homme. Pour "transcrire ce lien", ou "retrouver ce nombre" – les nombres peuvent exister sans nous, les nombres sont organisation –, il suffit (si l'homme = 5) de mettre l’"origine de l'homme" (sa "racine") en regard de l'unité divine (le 1). Un point de vue philosophique amène alors, pour retouver ce lien "éternel et indissoluble", à faire la "demi-somme des deux concepts".

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

nombre 5

Pour le fun

Méthode pour se souvenir des 33 premières décimales du nombre d’or – même si ça ne sert à rien mais ça détend.

$\varphi =1,618\,033\,988\,749\,894\,848\,204\,586\,834\,365\,638...\$

Ô trésor d’harmonie, par toi Pythagore découvrit division sublime dont Fibonacci définira drôlement fine méthode pour formules. Ah ! zélé, noble Leonardo ! Lapins comptés qui font une unique suite écrite : ton offrande.