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TRAJECTOIRES ET DÉVIATIONS DE LA LUMIÈRE DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL GÉNÉRÉ PAR UN OBJET MASSIF

1. INTRODUCTION

La déviation de la lumière dans un champ gravitationnel est un phénomène prédit par la mécanique classique et par la relativité générale.

Les deux théories donnent cependant des résultats sensiblement différents.

Nous développons ici pour un photon soumis à un champ gravitationnel généré par un objet massif, une méthode de calcul analytique de la trajectoire, des paramètres et de la déviation théorique du photon dans le cadre de la mécanique classique, et une méthode permettant d’obtenir par calcul les paramètres de la trajectoire et par intégrations numériques la trajectoire et la déviation du photon dans le cadre de la relativité générale en considérant que l'objet massif possède une symétrie sphérique.

Les différences sont mises en évidence par la comparaison des deux cas en prenant à titre d’exemples numériques le soleil comme objet massif et un trou noir de la masse du soleil.

Enfin, différents types de trajectoires d’un photon arrivant depuis l'infini ou émis à proximité d’un trou noir sont discutés dans le cadre de la relativité générale, entraînant certains phénomènes inhabituels qui dépendent des positions de l'observateur et de la source lumineuse.

2.   MÉCANIQUE CLASSIQUE

Avertissement : l’application de la mécanique classique pour le calcul de la trajectoire d’un photon, assimilé à une particule massique pour pouvoir appliquer la conservation du moment cinétique, est faite ici dans un cadre théorique afin de comparer ces résultats avec ceux donnés par la relativité générale. La vitesse d’un photon étant par nature relativiste, les résultats donnés par la mécanique classique ne sont pas conformes aux observations.

2.1. Trajectoire

En considérant le système isolé constitué par un objet massif de masse $M$ et une particule p de masse $m$, et en prenant l’hypothèse $m\ll M$, le centre de gravité du système est pratiquement confondu avec le centre de gravité $O$ de l’objet massif.

Dans un référentiel galiléen lié à $O$, la particule p représentée par un point $P$ soumis à un champ de force centrale au point $O$ évolue alors dans le plan défini par son vecteur position ${\vec {OP}}$ et son vecteur vitesse ${\vec {v}}$, étant donnée la conservation de son moment cinétique.

En définissant un axe $x$ issu de $O$, parallèle au vecteur vitesse initial ${\vec {v}}$ de p et de sens opposé, la trajectoire de p peut être définie par ses coordonnées polaires $(r,\varphi )$, $r$ étant la distance $OP$ et $\varphi$ l’angle entre l’axe $O_{x}$et le vecteur ${\vec {OP}}$ (phase).

En notant la constante $K$ norme du moment cinétique par unité de masse qui vaut $|r^{2}{d\varphi \over dt}|$ ou encore $\parallel {\overrightarrow {OP}}\land {\overrightarrow {v}}\parallel$, avec l’hypothèse $K\neq 0$ (le cas contraire est traité au paragraphe 2.6.) et avec le changement de variable $u=1/r$ l’équation différentielle du 2^ème ordre permettant de calculer la trajectoire $u(\varphi )$ est :

${d^{2}u \over d\varphi ^{2}}+u={\frac {GM}{K^{2}}}$ (2.a)

avec $G$ constante gravitationnelle, $M$ masse de l’objet massif et $K$ défini précédemment.

La solution analytique générale de (2.a) est une conique d'équation :

$u(\varphi )={\frac {GM}{K^{2}}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ (2.b)

L'angle $\varphi _{0}$ (axe de la conique) et l’excentricité $e$ sont les deux constantes d’intégration à déterminer d'après les conditions initiales de p : position $u$ et valeur de $K$.

p est dit "entrant" si $r$ est décroissant avec le temps (${dr \over dt}<0$) ou $u$ croissant (${du \over dt}>0$), et "sortant" si r est croissant (${dr \over dt}>0$) ou $u$ décroissant (${du \over dt}<0$).

2.2. Paramètres L et dL/dφ

La tangente à la trajectoire au point $P\ (r,\varphi )$ est la droite qui passe par $P$ et qui fait un angle $V$ avec le vecteur position ${\vec {OP}}$ tel que $\tan(V)=r{d\varphi \over dr}$.

L’angle complémentaire $L$ de l’angle $V$ est défini par $\tan(L)=-\cot(V)={\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$.

Les expressions analytiques de $L$ et de ${dL \over d\varphi }$ sont données dans l’annexe mécanique classique A.1.

2.3. Particule arrivant depuis l'infini avec une vitesse non nulle

Coordonnées polaires ($r,\varphi$) et paramètre d'impact $b$

Avec l’axe $y$ issu de $O$, directement perpendiculaire à $O_{x}$ et contenu dans le plan défini précédemment, les conditions initiales pour p arrivant depuis l’infini sont $y=b,\ v_{x}=-v_{\infty },\ v_{y}=0,\ u=0$ et $\varphi =0$.

avec $b$ paramètre d’impact = distance perpendiculaire entre la trajectoire de p qui arrive depuis l’infini et l’axe $O_{x}$.

$K$ invariant vu précédemment peut se calculer à partir des conditions initiales et sa valeur est alors $xv_{y}-yv_{x}=bv_{\infty }$, avec $b>0$.

En remplaçant $K$ par sa valeur dans (2.b) :

$u(\varphi )={\frac {GM}{v_{\infty }^{2}b^{2}}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ (2.c)

L’énergie mécanique $Emeca$ = énergie cinétique + énergie potentielle est un invariant

et sachant que l’énergie potentielle $-{\frac {GmM}{r}}$ est nulle pour $r\ \infty$ soit $u(0)=0$, $Emeca$ vaut alors ${\frac {1}{2}}mv_{\infty }^{2}$.

Par ailleurs, $Emeca$ peut s’écrire (voir annexe mécanique classique A.2.) :

$Emeca={\frac {1}{2}}{\frac {(GmM)^{2}}{mK^{2}}}(e^{2}-1)$ soit avec $K=v_{\infty }b$ : $Emeca={\frac {1}{2}}{\frac {(GmM)^{2}}{mv_{\infty }^{2}b^{2}}}(e^{2}-1)$

ce qui donne avec la valeur initiale vue précédemment : ${\frac {1}{2}}mv_{\infty }^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {(GmM)^{2}}{mv_{\infty }^{2}b^{2}}}(e^{2}-1)$

et après calcul :

$e={\sqrt {1+{\frac {v_{\infty }^{4}b^{2}}{G^{2}M^{2}}}}}$ (2.d)

Avec $u(0)=0$, il vient d’après (2.c) : $\cos(\varphi _{0})=-{\frac {1}{e}}$ c'est-à-dire :

$\varphi _{0}=\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)$ (2.e)

Si $v(r)$ est la vitesse de p à la distance $r$, la conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :

${\frac {1}{2}}mv_{\infty }^{2}={\frac {1}{2}}mv(r)^{2}-{\frac {GmM}{r}}$ soit $v(r)={\sqrt {v_{\infty }^{2}+{\frac {2GM}{r}}}}$ (2.f)

En considérant maintenant que p est un photon, $v_{\infty }=c$ vitesse de la lumière dans le vide, ce qui donne par application dans (2.d), (2.e) et (2.f) et avec $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$ (rayon de Schwarzschild) :

$e={\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}$ (2.g)

$\varphi _{0}=\arccos {\Biggl (}-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}}{\Biggr )}$ (2.h)

et $v(r)=c{\sqrt {1+{\frac {Rs}{r}}}}$ (2.i)

ce qui indique qu’en mécanique classique la vitesse du photon n’est pas un invariant.

La trajectoire $u(\varphi )$ de p est alors d’après (2.c) :

$u(\varphi )={\frac {Rs}{2b^{2}}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ (2.j)

avec $e$ et $\varphi _{0}$ donnés respectivement par (2.g) et (2.h),

ce qui montre que la trajectoire de p arrivant depuis l'infini à la vitesse $c$ est entièrement déterminée par les valeurs du paramètre $b$ et de la masse $M$ de l’objet massif (à travers $Rs$).

La dérivée ${du \over d\varphi }$ vaut $-{\frac {Rs}{2b^{2}}}e\sin(\varphi -\varphi _{0})$ qui peut s'écrire aussi :

${du \over d\varphi }={\sqrt {{\frac {Rsu}{b^{2}}}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$ pour $\varphi <\varphi _{0}$ et ${du \over d\varphi }=-{\sqrt {{\frac {Rsu}{b^{2}}}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$ pour $\varphi >\varphi _{0}$ (2.k)

et (2.j) donne : ${d^{2}u \over d\varphi ^{2}}=-u+{\frac {Rs}{2b^{2}}}$ (2.l)

Homothétie

Il est facile de vérifier que les trajectoires de deux photons $p_{1}(R_{s_{1}},b_{1})$ et $p_{2}(R_{s_{2}},b_{2})$ avec $b_{2}=b_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}$ seront identiques au facteur d’homothétie près ${\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}\left(={\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)$ : $r_{2}(\varphi )={\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}r_{1}(\varphi )\left(={\frac {M_{2}}{M_{1}}}r_{1}(\varphi )\right)$

D’après (2.a), en prenant $K=bc$ et $GM={1 \over 2}R_{s}c^{2}$, cette propriété est généralisable, que le photon arrive de l’infini ou non.

D’après (2.g), l’excentricité $e$ est supérieure à $1$ ce qui indique que la trajectoire de p est une branche d’hyperbole de foyer $O$, symétrique par rapport à l’angle $\varphi _{0}$.

Le cas limite mathématique correspond à l'objet massif réduit à un point matériel de masse $M$ et à un paramètre d’impact $b=0$ ce qui donne une excentricité $e=1$ et une parabole réduite à une demi-droite avec un angle $\varphi _{0}=\pi$. p arrive depuis l’infini, atteint le point matériel $O$ de masse $M$ et repart vers l’infini dans la direction d’où il est arrivé.

Il convient de remarquer que le photon p n’ayant pas de masse, le centre de gravité du système isolé constitué par l’objet massif et le photon est confondu avec le centre de gravité de l’objet massif et que par conséquent dans le cadre de la mécanique classique (2.g) à (2.l) fournissent des valeurs exactes tandis que (2.a) à (2.f) qui s’appliquent à une particule de masse $m$ donnent des valeurs approchées.

2.3.1. Périastre et b limite

(2.j) admet un maximum absolu $u$ qui vaut  $u(\varphi _{0})={\frac {Rs}{2b^{2}}}(1+e)$.

Cette valeur s'obtient aussi avec (2.k) en annulant ${du \over d\varphi }$.

Le maximum de $u$ correspond par définition au minimum de $r$ (passage au périastre) :

$r_{per}={\frac {1}{u(\varphi _{0})}}={\frac {2b^{2}}{Rs(1+e)}}$ (2.m)

La condition pour que p n'impacte pas l’objet massif est $r_{per}>R$ rayon de la sphère représentant la forme de l’objet massif, soit :

${\frac {2b^{2}}{Rs(1+e)}}>R$.

En remplaçant $e$ par sa valeur donnée par (2.g), il vient après un calcul simple non détaillé ici :

$b>b_{lim}=R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R}}}}$ (2.n)       (ou $b_{lim}=R{\sqrt {1+{\frac {2GM}{c^{2}R}}}}$ )

p arrive depuis l’infini et continue vers l’infini, après avoir été dévié par l'objet massif à une distance minimale $r_{per}$.

Ainsi, il existe toujours une valeur $b=b_{lim}$ qui permet au photon de "tangenter" l’objet massif, quelle que soit sa masse $M$ ou son rayon $R$ non nul.

Par ailleurs, (2.j) implique que la trajectoire de p est symétrique par rapport à l’axe $\varphi _{0}$.

2.3.2. Déviation totale

Sous réserve que p n'impacte pas l’objet massif ($b>b_{lim}$), la trajectoire est symétrique par rapport à l’angle $\varphi _{0}$ ce qui permet avec (2.h) de calculer la déviation totale de p, à partir de l’angle total $2\varphi _{0}$ et de l’angle sans déviation $\pi$ :

Déviation totale $=2\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}}\right)-\pi$ (2.o)     avec $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$

(2.o) donne la déviation totale exacte de p soumis à un champ gravitationnel généré par un objet massif de masse $M$, p étant supposé arriver depuis l’infini et continuer vers l’infini.

La déviation totale admet un maximum pour $b=b_{lim}$ qui correspond à la valeur minimale de $-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}}$ soit $-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4b_{lim}^{2}}{Rs^{2}}}}}}$ ce qui donne en remplaçant $b_{lim}$ par sa valeur (2.n) :

Déviation totale maximale $=2\arccos \left(-{\frac {1}{1+{\frac {2R}{Rs}}}}\right)-\pi$ (2.p)

Dans le cas limite mathématique du point matériel $(R=0)$, la déviation totale maximale vaut $\pi$.

2.3.3. Approximation de la déviation totale

Pour $2b\gg Rs$, la déviation totale peut être approximée.

Dans ce cas ${\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}\simeq {\sqrt {\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}={\frac {2b}{Rs}}$ et (2.o) donne alors :

Déviation totale $\simeq \arccos \left(-{\frac {Rs}{2b}}\right)-\pi$ (2.q) avec ${\frac {Rs}{2b}}\ll 1$

Au voisinage de $\epsilon =0$, le développement limité de $\arccos(\epsilon )$ à l’ordre 1 permet d’écrire :

$\arccos(\epsilon )\simeq {\frac {\pi }{2}}-\epsilon$ , soit puisque ${\frac {Rs}{2b}}$est très petit :

$\arccos(-{\frac {Rs}{2b}})\simeq {\frac {\pi }{2}}+{\frac {Rs}{2b}}$, ce qui donne finalement d’après (2.q) :

Déviation totale $\simeq {\frac {Rs}{b}}\left(={\frac {2GM}{c^{2}b}}\right)$ (2.r)

La déviation totale maximale donnée par (2.p) peut s’approximer de la même façon pour ${\frac {Rs}{R}}\ll 1$ :

Déviation totale maximale $=2\ \arccos \left(-{\frac {1}{1+{\frac {2R}{Rs}}}}\right)-\pi \simeq {\frac {Rs}{R+{\frac {Rs}{2}}}}=\left({\frac {1}{{\frac {c^{2}R}{2GM}}+{\frac {1}{2}}}}\right)$ (2.s)

ou aussi avec (2.r) :

Déviation totale maximale $\simeq {\frac {Rs}{b_{lim}}}={\frac {Rs}{R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R}}}}}}\simeq {\frac {Rs}{R+{\frac {Rs}{2}}}}$

2.3.4. Impact

Comme vu précédemment, si $b<b_{lim}$, p impacte l’objet massif.

Dans le cas d’un objet compact de rayon $Rs$, la condition $b<b_{lim}$ entraîne d’après (2.h) :

$\varphi _{0}<\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4b_{lim}^{2}}{Rs^{2}}}}}}\right)$ soit en remplaçant $b_{lim}$ par sa valeur (2.n) :

$\varphi _{0}<\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 109,5^{\circ }$.

(2.k) donne pour un photon entrant et ${d\varphi \over dt}>0$, $u={\frac {1}{Rs}}$ et $\tan(L)={\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$ :

$\tan L_{impact}=Rs{\sqrt {{\frac {2}{b^{2}}}-{\frac {1}{Rs^{2}}}}}$ soit $L_{impact}=\arctan {\sqrt {{\frac {2Rs^{2}}{b^{2}}}-1}}$

2.4. Photon émis depuis une source lumineuse non située à l’infini

La trajectoire d’un photon p entrant ou sortant et émis depuis une source lumineuse non située à l’infini avec un angle de phase $\varphi _{em}$ et une distance $r_{em}>R_{s}$ est une branche d’hyperbole qui s’obtient de manière similaire aux calculs vus précédemment à partir de l’équation (2.a), des conditions initiales à l’émission, et de la conservation du moment cinétique et de l’énergie mécanique, qui permettent notamment de déterminer son excentricité et son axe, en considérant qu’à la position initiale $(r_{em},\varphi _{em})$ sa vitesse est $c$ (voir annexe mécanique classique A.3. pour les calculs) :

$u(\varphi )={\frac {Rs}{2b^{2}(1-{\frac {Rs}{r_{em}}})}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$

avec $e={\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}\left(1-{\frac {R_{s}}{r_{em}}}\right)^{2}}}$ et $\varphi _{0}=\varphi _{em}+\arccos \left({\frac {{\frac {2b^{2}\left(1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\right)}{r_{em}Rs}}-1}{\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}\left(1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\right)^{2}}}}\right)$

Le périastre $r_{per}$ vaut ${\frac {2b^{2}\left(1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\right)}{Rs(1+e)}}$ et pour un objet massif de rayon $R$, $b_{lim}$ s’obtient en écrivant ${\frac {2b^{2}\left(1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\right)}{Rs(1+e)}}>R$ ce qui donne en remplaçant $e$ par sa valeur et après un calcul simple non détaillé ici :

$b>b_{lim}=R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R\left(1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\right)}}}}$, condition pour que le photon n'impacte pas l'objet massif.

Par ailleurs, la conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer la vitesse de p fonction de $r$ :

${\frac {1}{2}}v(r)^{2}-{\frac {GM}{r}}={\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {GM}{r_{em}}}$

soit $v(r)=c{\sqrt {1-{\frac {Rs}{r_{em}}}\left(1-{\frac {r_{em}}{r}}\right)}}$ (2.t)

Photon émis depuis la surface de l'objet massif

La trajectoire d’un photon p sortant de la surface d’un objet massif de masse $M$ et de rayon $R>Rs$ est une branche d’hyperbole dont l’excentricité et l’axe ainsi que la vitesse $v(r)$ s’obtiennent en remplaçant $r_{em}$ par $R$ dans les égalités du paragraphe 2.4.

A l’infini, $v_{\infty }=c{\sqrt {1-{\frac {Rs}{R}}}}$ (en mécanique classique la vitesse du photon n’est pas un invariant).

Si $R=Rs$, l’énergie mécanique de p est nulle et $v_{\infty }=0$.

Si $R<Rs$, l’énergie mécanique de p est $<0$ ce qui conduit à une excentricité $<1$ (voir annexe mécanique classique A.2. (2.y)) : p suivra une orbite elliptique autour de l'objet massif.

Si $R={Rs \over 2}$ et que le photon est émis tangentiellement à la surface de l'objet massif, l'excentricité est nulle : p suivra une orbite circulaire à vitesse $c$ constante à la surface de l’objet massif (voir annexe mécanique classique A.3.).

Fig. 1 : tracé selon la mécanique classique de la trajectoire parabolique d’un photon avec norme du moment cinétique par unité de masse = $cRs$ = ${\frac {2GM}{c}}$ et dévié par un trou noir de Schwarzschild de masse $M$.

2.5.    Vitesse nulle à l’infini et moment cinétique non nul

Le cas $v_{\infty }=0$ entraîne $Emeca=0$ soit une excentricité $e=1$ (voir annexe mécanique classique A.2. (2.y)).

Si $K\neq 0$, la trajectoire est une parabole d’équation $u(\varphi )={\frac {c^{2}Rs}{2K^{2}}}(1-\cos(\varphi ))$

avec un périastre $rper$ = ${\frac {2K^{2}}{c^{2}Rs}}$ et $v(r)=c{\sqrt {\frac {Rs}{r}}}$ puisque $Emeca=0$,

et une équation cartésienne $x={\frac {y^{2}}{4r_{per}}}-r_{per}$.

Si $R$ est le rayon de l’objet massif, pour $K>K_{lim}=c{\sqrt {RRs}}$ le photon p n’impacte pas l’objet massif : p entre à vitesse nulle depuis l’infini, est dévié par l’objet massif et repart vers l’infini où sa vitesse s’annule. La déviation totale est $\pi$.

Fig. 2 : tracé selon la mécanique classique de la norme de la vitesse fonction de l’angle de phase d’un photon avec norme du moment cinétique par unité de masse = $cRs$ = ${\frac {2GM}{c}}$ et dévié par un trou noir de Schwarzschild de masse $M$.

Voir l’annexe mécanique classique A.4. pour les calculs.

Photon émis depuis Rs à la vitesse c

L’énergie mécanique de p est nulle ce qui entraîne une vitesse nulle à l’infini.

L’excentricité $e$ vaut $1$ et si $\varphi _{em}$ est l’angle de phase d’émission et $L_{em}$ la latitude d’émission de p (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon $Rs$ au point d’émission), la trajectoire est une parabole d’équation $u(\varphi )={\frac {1+\cos(\varphi -\varphi _{0})}{2Rs\cos ^{2}(L_{em})}}$, de périastre $rper$ = $Rs\cos ^{2}(L_{em})$ et d’axe de symétrie $\varphi _{0}=\varphi _{em}+\arccos(2\cos ^{2}(L_{em})-1)$ (voir annexe mécanique classique A.4.).

2.6. Moment cinétique nul – Trajectoires radiales

La nullité de $K=|r^{2}{d\varphi \over dt}|$ entraîne $r$ et/ou ${d\varphi \over dt}=0$.

Le cas $r=0$ est le cas trivial où p est situé au centre de gravité $O$ de l’objet massif et n’a pas de mouvement.

Le cas ${d\varphi \over dt}=0$ signifie que $\varphi$ garde sa valeur initiale et la trajectoire de p se fait sur un axe $\varphi _{initial}$ constant (pas de déviation) qui correspond à une trajectoire radiale.

Un photon p entrant depuis l’infini (ou depuis une coordonnée $r_{em}>R$ rayon de l’objet massif) sur l’axe $O_{x}$, avec une vitesse initiale nulle ou $<0$, restera sur cet axe en impactant l’objet massif lorsque $r$ atteindra $R$.

Un photon p sortant depuis une coordonnée $r_{em}>R$ sur l’axe $O_{x}$, avec une vitesse initiale $>0$, restera sur cet axe en allant vers l’infini.

La conservation de l’énergie mécanique s’applique et les équations (2.i) et (2.t) restent valables, $v(r)$ représentant la vitesse de p sur l’axe $O_{x}$ de la trajectoire.

2.7. Application numérique

Avertissement : les valeurs numériques calculées ci-dessous sont données mathématiquement avec 15 chiffres, ce niveau de précision n’ayant pas de sens physique. Les résultats avec chiffres significatifs (liés à la précision des valeurs d’entrée $G,c,M$ et $R$ et à la formule de calcul) sont fournis en italique entre parenthèses.

2.7.1. Photon arrivant depuis l'infini et soumis au champ gravitationnel du soleil

En prenant l’hypothèse que l’objet massif est le soleil, et connaissant les valeurs des constantes :

$G$ constante gravitationnelle $6,6743\ 10^{-11}\ m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$c$ vitesse de la lumière dans le vide $299\ 792\ 458\ m.s^{-1}$

$M\odot$ masse du soleil $1,9884\ 10^{30}\ kg$

$R\odot$ rayon du soleil $6,96342\ 10^{8}\ m$

$Rs$ rayon de Schwarzschild calculé $=2\ 953,235415823111\ m$ (2 953 m)

les valeurs numériques $b_{lim}$, $e$, $r_{per}$, $v_{max}$, $\varphi _{0}$ et la déviation totale se calculent comme suit :

(2.n) donne $b_{lim}=6,963434766161423\ 10^{8}\ m$ (6,96342 10⁸ m)

En choisissant $b=b_{lim}$ (cas où le photon passe au plus près du soleil) :

(2.g) donne $e$ $=4,715800663142369\ 10^{5}\ m$ (4,716 10⁵ m).

(2.m) donne la valeur au périhélie $r_{per}=6,96342\ 10^{8}\ m=R\odot$ = rayon du soleil, puisque $b=b_{lim}$,

(2.j) permet de calculer pour $r=r_{per}$ : $v_{max}=1,000002120532931\ c$ (1,000002121 $c$),

(2.h) donne $\varphi _{0}=1,5707984473255794\ rad$ (1,57079845 rad),

soit une déviation totale exacte = $2\varphi _{0}-\pi =4,241061365650722\ 10^{-6}\ rad=0,8747817008679921\ seconde\ d'arc$ (0,875 seconde d’arc).

${\frac {Rs}{2b}}$ vaut $2,12\ 10^{-6}$, et en considérant cette très faible valeur, l’utilisation de l’approximation (2.r) est justifiée et donne une déviation totale $\simeq {\frac {Rs}{b}}=4,2410613655408384\ 10^{-6}\ rad$ qui ne diffère de la valeur exacte ci-dessus qu’au 11^ème chiffre.

Comme vu précédemment (2.p) puisque $b=b_{lim}$, la valeur de la déviation totale est ici la valeur maximale possible pour un photon non absorbé par le soleil.

2.7.2. Photon arrivant depuis l'infini et soumis au champ gravitationnel d’un trou noir

En considérant que le trou noir est assimilable à une sphère de masse $M$, son rayon $R$ physique est par définition inférieur ou égal à $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$.

En prenant $M$ = masse du soleil et $R=Rs$, les formules référencées ci-dessus donnent :

$b_{lim}=4\ 176,505577937591\ m$ (4 176,5m).

En choisissant $b=b_{lim}$ (cas où le photon passe au plus près du trou noir) :

$e=3$,

$r_{per}=2\ 953,235415823111\ m$ (2 953 m) = $Rs$ puisque $b=b_{lim}$,

$v_{max}={\sqrt {2}}\ c$,

$\varphi _{0}=1,9106332362490186\ rad$ (1,91063324 rad),

soit une déviation totale exacte = $2\varphi _{0}-\pi =0,6796738189082441\ rad=38,9424412689814^{\circ }$ (38,9°), en notant que ${\frac {Rs}{2b}}$vaut $0,354$ ce qui ne permet pas l’approximation (2.r).

En supposant qu’un observateur puisse résister à la gravité générée par le trou noir et qu’il regarde dans la direction opposée à celui-ci, les phénomènes suivants apparaîtront suivant la position de l’observateur :

a) observateur placé à une distance r

A une distance suffisante du trou noir ($r>5\ 900\ m$ environ), l'observateur verrait chacune des étoiles situées très précisément à la latitude $-90^{\circ }$ (soit sur l’axe passant par l’observateur et le centre du trou noir), sous la forme d’un cercle lumineux très fin centré sur cet axe qui pourrait être nommé "cercle de Newton" (équivalent de l'"anneau d’Einstein" mentionné plus loin en relativité générale).

b) observateur placé à la distance r = Rs

Le calcul analytique montre que l'observateur verrait les étoiles visibles dont la latitude réelle est comprise entre $90^{\circ }$ et $-19,5^{\circ }$environ ($90^{\circ }-\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)$, voir précédemment paragraphe 2.3.4.), la "contraction" étant légère pour les latitudes proches de $90^{\circ }$ ($1,17$ environ), et un peu plus prononcée pour les latitudes proches de $0^{\circ }$ ($1,22$ environ). Ce phénomène s’applique également aux diamètres apparents des étoiles, qui sont inférieurs aux diamètres réels avec un facteur maximal de contraction de ${\frac {4}{3}}$ pour la latitude $0^{\circ }$. Se reporter à l’annexe mécanique classique A.5. pour plus de détail.

2.7.3. Photon émis depuis rem = Rs

(2.t) montre que $v_{\infty }=0$ (la vitesse du photon s'annule à l'infini).

Lorsque le photon est émis tangentiellement ($L_{em}=0$), la trajectoire parabolique est aussi celle d’un photon entrant à une vitesse nulle à l’infini avec $K=cRs={\frac {2GM}{c}}$ (voir annexe mécanique classique A.4.).

La déviation totale est ${\frac {\pi }{2}}$ pour le photon sortant depuis $r_{em}=Rs$ vers l’infini et $\pi$ pour le photon entrant depuis l’infini et sortant vers l’infini.

Cette déviation est supérieure à celle vue précédemment au paragraphe 2.7.2 qui considère que le photon a une vitesse $c$ à l’infini.

3. RELATIVITÉ GÉNÉRALE

3.1. Trajectoire

Le photon p est soumis à un champ gravitationnel généré par un objet massif de masse $M$.

En considérant que le champ gravitationnel est à symétrie sphérique et en utilisant le système de coordonnées $(ct,r,\varphi ,\theta )$, le produit scalaire ${\vec {dP}}.{\vec {dP}}$ d'un déplacement élémentaire ${\vec {dP}}$ du photon est défini par le tenseur métrique de Schwarzschild (voir ses limites en conclusion) et s'écrit :

$g(dP,dP)=-\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}$ (3.a)

avec $c$ vitesse de la lumière dans le vide (invariante) et $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$ (rayon de Schwarzschild).

Dans la région asymptotique $r\gg Rs$, la coordonnée $r$ s’interprète comme la distance physique entre le photon et le centre $O$ de l’objet massif.

Les symétries de la métrique de Schwarzschild impliquent que la trajectoire de p reste dans un plan$g(dP,dP)=-\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}$ , choisi être $\theta ={\frac {\pi }{2}}$, ce qui donne :

$g(dP,dP)=-{\Bigl (}1-{\frac {Rs}{r}}{\Bigr )}c^{2}dt^{2}+{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}{\biggr )}dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}$ (3.b)

$\varphi$ est alors la phase du photon se déplaçant dans le plan $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ avec son repère cartésien $O_{xy}$.

Le cas $d\varphi =0$ correspond à une trajectoire radiale ($\varphi =cte$) et est traité au paragraphe 3.6.

La quadri-impulsion du photon peut être définie par un vecteur ${\overrightarrow {p}}$à quatre coordonnées $(p^{0},p^{r},p^{\varphi },p^{\theta })$ dans le système de coordonnées de Schwarzschild, avec $p^{\theta }=0$ puisque le mouvement du photon s’effectue dans le plan $\theta ={\frac {\pi }{2}}$.

Les quantités $\varepsilon$ et $l$ définies comme suit :

$\varepsilon =c\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)p^{0}$ (3.c)

$l=r^{2}p^{\varphi }$ (3.d)

qui sont quand $r\gg Rs$ respectivement l’énergie et le moment cinétique du photon mesurés par un observateur statique (à $r,\varphi$ et $\theta$ fixés), sont conservées le long de la géodésique du photon.

Pour $r\gg Rs$, le moment cinétique $l$ s’écrit aussi $r^{2}{d\varphi \over dt}$ : le cas $l=0$ qui correspond à $d\varphi =0$ est traité au paragraphe 3.6.

Par ailleurs, la quadri-impulsion ${\vec {p}}$ du photon est un vecteur du genre lumière et son produit scalaire ${\vec {p}}.{\vec {p}}$ est donc nul. Il s'écrit :

$g(p,p)=-\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)(p^{0})^{2}+\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)(p^{r})^{2}+r^{2}(p^{\varphi })^{2}=0$ (3.e)

(3.c) et (3.d) donnent $(p^{0})^{2}=\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{2}}{c^{2}}}$ et $(p^{\varphi })^{2}={\frac {l^{2}}{r^{4}}}$, et il vient avec (3.e) :

$(p^{r})^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {l^{2}}{r^{2}}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}{\biggr )}$,

soit en posant $b^{2}={\frac {c^{2}l^{2}}{\varepsilon ^{2}}}$, avec $b\neq 0$ (voir le paragraphe 3.6. pour le cas $b=0$) :

$(p^{r})^{2}=l^{2}\left({\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)\right)$. (3.f)

En introduisant un paramètre affine $\lambda$ le long de la géodésique lumière tel que :

${\vec {p}}=l{{\vec {dP}} \over d\lambda }$ (3.g) et avec ${\vec {dP}}=(cdt,dr,d\varphi ,0)$, les 3 coordonnées non nulles de la quadri-impulsion sont : $p^{0}=lc{dt \over d\lambda },p^{r}=l{dr \over d\lambda }\ et\ p^{\varphi }=l{d\varphi \over d\lambda }$.

Il vient alors avec (3.f) : $\left({dr \over d\lambda }\right)^{2}={\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({1-{\frac {Rs}{r}}}\right)$

et avec (3.d) : ${\Bigl (}{d\varphi \over d\lambda }{\Bigr )}^{2}={\frac {1}{r^{4}}}$, soit :

${\Bigl (}{d\varphi \over dr}{\Bigr )}^{2}={\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{{\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\Bigl (}{1-{\frac {Rs}{r}}}{\Bigr )}}}$, ce qui donne :

${d\varphi \over dr}=\pm {\frac {1}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({1-{\frac {Rs}{r}}}\right)}}}}$ (3.h)

Signification de b

Avec comme vu précédemment $p^{0}=lc{dt \over d\lambda }$, $\varepsilon$ s’écrit d’après (3.c) : $\varepsilon =c^{2}l\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right){dt \over d\lambda }$

d’où $b={d\lambda \over dt}{\frac {1}{c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)$ en remplaçant $\varepsilon$ par sa valeur dans $b^{2}={\frac {c^{2}l^{2}}{\varepsilon ^{2}}}$.

En écrivant ${d\lambda \over dt}={\frac {d\varphi \over dt}{d\varphi \over d\lambda }}$, il vient alors $b={\frac {r^{2}}{c}}{d\varphi \over dt}\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)\simeq {\frac {r^{2}}{c}}{d\varphi \over dt}$ pour $r\gg Rs$ (3.i)

Par ailleurs, si le photon est émis dans la direction $x$ avec $r\gg Rs$, la trajectoire du photon est initialement à $y$ constant = paramètre d’impact du photon vis-à-vis de l’objet massif, qui s’écrit $y_{em}=r\sin \varphi \simeq r\varphi$ pour $r\gg Rs$, ce qui donne $\varphi ={\frac {y_{em}}{r}}$ soit ${d\varphi \over dt}=-{\frac {1}{r^{2}}}{dr \over dt}y_{em}$.

En prenant ${dr \over dt}\simeq -c$ , il vient ${d\varphi \over dt}\simeq {\frac {c}{r^{2}}}y_{em}$ et (3.i) donne alors $b=y_{em}$.

$b$ est donc le paramètre d’impact pour un photon arrivant depuis l’infini.

Dans la suite de l'étude, p désigne le photon.

Avec le changement de variable $u={\frac {1}{r}}$, ${dr \over du}=-{\frac {1}{u^{2}}}$ et (3.h) devient :

${\frac {\left({d\varphi \over dr}\right)^{2}}{\left({dr \over du}\right)^{2}}}={\frac {u^{4}}{({\frac {1}{b^{2}}}-u^{2}(1-Rs\ u))\ u^{4}}}$ soit :

${\left({d\varphi \over du}\right)^{2}}={\frac {1}{Rs\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$ soit ${du \over d\varphi }=\pm {\sqrt {Rs\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$ (3.j)

ce qui montre d'une part que la trajectoire de p arrivant depuis l'infini ($u=0$) est entièrement déterminée par les valeurs du paramètre $b$ et de la masse $M$ de l’objet massif (à travers $Rs$) et d’autre part qu’il existe pour un point d’émission donné deux géodésiques possibles pour le photon, qui correspondent à ${du \over d\varphi }_{initial}>0$ et ${du \over d\varphi }_{initial}<0$.

Note : dans le cas où p est émis par une source lumineuse non située à l’infini, (3.j) implique que le paramètre d’impact $b$ ne peut dépasser une certaine valeur (voir paragraphe 3.3).

p est dit "entrant" si $r$ est décroissant avec le temps (${dr \over dt}<0$) ou $u$ croissant (${du \over dt}>0$), et "sortant" si r est croissant (${dr \over dt}>0$) ou $u$ décroissant (${du \over dt}<0$).

L’intégration numérique permettant de calculer $u(\varphi )$ est discutée au paragraphe 3.7.

S’il existe, l'extremum de $r$ s’obtient en écrivant ${dr \over d\varphi }=0$ soit d'après (3.h) :

${\frac {r^{3}}{b^{2}}}-r+Rs=0$ (3.k)

La résolution de cette équation dans le contexte de (3.h) et la discussion des trajectoires du photon sont détaillées dans l’annexe relativité générale B.2. Les paragraphes ci-dessous en résument les résultats, qui dépendent notamment de la valeur de b par rapport à une valeur critique :

$b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs\left(={\frac {3{\sqrt {3}}\ GM}{c^{2}}}\right)$ (3.l)

3.2. Paramètres L et dL/dφ

Les définitions géométriques de l’angle $V$ de la tangente à la trajectoire et de son complément $L$ (voir précédemment paragraphe 2.2) s’appliquent :

$\tan(V)=r{d\varphi \over dr}$ et $\tan(L)=-\cot(V)={\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$.

Les expressions analytiques de $L$ et de ${dL \over d\varphi }$ sont données dans l’annexe relativité générale B.1.

Fig. 3 - 4 trajectoires de photons arrivant depuis l'$\infty$ déviés par un trou noir de Schwarzschild pour des valeurs de paramètre d’impact > $b_{crit}$ donnant des déviations de${\frac {\pi }{2}},\ \pi ,\ {\frac {3\pi }{2}}\ et\ 2\pi$.

3.3. Photon arrivant depuis l'infini

3.3.1. Périastre et b limite

Si $b>b_{crit}$, le minimum de $r$ vaut :

$r_{per}={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {b_{crit}}{b}}\right)\right)$ (3.m)

La condition pour que p n'impacte pas l’objet massif et continue vers l'infini est $r_{per}>R$ rayon de la sphère représentant la forme de l’objet massif, ce qui donne une valeur limite de $b$ en faisant $r=r_{per}=R$ dans (3.k) :

${\frac {R^{3}}{b_{lim}^{2}}}-R+Rs=0$ soit $b_{lim}=R{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {Rs}{R}}}}}$ (3.n)

Cette limite est une valeur minimale puisque si $b<b_{lim}$, (3.m) donne :

$r_{per}<R={\frac {2b_{lim}}{\sqrt {3}}}\cos {\biggl (}{\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}-{\frac {b_{crit}}{b_{lim}}}{\biggr )}{\biggr )}$ en contradiction avec $r_{per}>R$, d’où :

Fig. 4 - Trajectoire d'un photon arrivant depuis l'$\infty$ dévié par un trou noir de Schwarzschild pour une valeur de paramètre d’impact > $b_{crit}$ donnant une déviation de $4\pi$ (2 tours autour du trou noir) .

$b>b_{lim}=R{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {Rs}{R}}}}}$ en remarquant que par définition de (3.m), $b_{lim}\geq b_{crit}$ ce qui entraîne la condition $R\geq {\frac {3}{2}}Rs$.

La dérivée de $b_{lim}$ par rapport à $R$ s’écrit ${db_{lim} \over dR}={\frac {1-{\frac {3Rs}{2R}}}{(1-{\frac {Rs}{R}})^{\frac {3}{2}}}}$ ce qui montre un minimum de $b_{lim}$ pour une valeur critique $R={\frac {3}{2}}Rs=r_{crit}$,

ce minimum valant ${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$ soit $b_{crit}$.

Par ailleurs, (3.j) implique que la trajectoire de p est symétrique par rapport à la valeur de l’angle φ au périastre qui annule ${du \over d\varphi }$.

3.3.2. Déviation totale

Sous réserve que p n'impacte pas l’objet massif ($b>b_{lim}$), l’angle total est :

$2\varphi _{0}=2\textstyle \int _{r_{per}}^{\infty }{\frac {1}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({1-{\frac {Rs}{R}}}\right)}}}}dr$ (3.o)

ce qui donne avec l’angle sans déviation $\pi$ :

Déviation totale = $2\textstyle \int _{r_{per}}^{\infty }{\frac {1}{r^{2}{\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left({1-{\frac {Rs}{R}}}\right)}}}}dr-\pi$ (3.p)

3.3.3. Approximation de la déviation totale

Dans le cas où le rayon $R$ est $\gg Rs$, puisque d'après (3.n) $b>R$, $b$ est $\gg Rs$ et un développement limité en ${\frac {Rs}{b}}$ permet d’obtenir $2\varphi _{0}\approx \pi +{\frac {2Rs}{b}}$ (3.q)

ce qui donne avec l’angle sans déviation $\pi$ :

Déviation totale $\simeq {\frac {2Rs}{b}}\left(={\frac {4GM}{c^{2}b}}\right)$ (3.r)

3.3.4. Rayon apparent d’un objet massif

Le rayon apparent d’un objet massif de rayon $R\geq {\frac {3}{2}}Rs$ est $b_{lim}$ puisqu’aucun photon de paramètre d’impact $b<b_{lim}$ ne peut parvenir à l’observateur.

Si l’objet massif a un rayon $R\leq {\frac {3}{2}}Rs$, son rayon apparent est $b_{crit}$ (soit ${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$) puisqu’aucun photon de paramètre d’impact $b<b_{crit}$ ne peut parvenir à l’observateur. Il ne dépend pas de $R$.

Fig. 5 - Trajectoire d’un photon arrivant depuis l'$\infty$ dévié par un trou noir de Schwarzschild pour la valeur de paramètre d’impact = $b_{crit}$ (capture sur une orbite circulaire).

3.3.5. Orbite circulaire

Si $b=b_{crit}$, (3.k) admet une racine double $r_{crit}={\frac {3}{2}}Rs\left(={\frac {3GM}{c^{2}}}\right)$ et si $R<{\frac {3}{2}}Rs$, p se place sur une orbite circulaire instable de rayon $r_{crit}$ autour de l’objet massif.

Ce cas limite montre qu’il n’existe pas formellement de valeur maximale pour la déviation totale, contrairement aux résultats donnés par la mécanique classique (2.p) et au paragraphe 2.5. vu précédemment.

De plus, $r_{crit}={\frac {3}{2}}Rs$ est la coordonnée radiale minimale de p pour une trajectoire n’impactant pas l’objet massif, ce qui signifie qu’un photon ne peut "tangenter" un objet massif de masse $M$ et de rayon $R<r_{crit}={\frac {3}{2}}Rs$.

3.3.6.    Impact

Si $b<b_{crit}$, (3.k) n’admet pas de racine positive ce qui signifie que $r$ n’a pas de minimum et que p impacte l’objet massif, sans condition sur la valeur de $R$.

Fig. 6 - Trajectoire d’un photon arrivant depuis l'$\infty$ dévié et absorbé par un trou noir de Schwarzschild, ou d'un photon émis à partir de l'horizon des évènements vers l'$\infty$, pour une valeur de paramètre d’impact < $b_{crit}$.

Dans le cas d’un trou noir, (3.j) donne pour p entrant dans l’horizon des évènements ("hypersurface" de coordonnée radiale $Rs$) et ${d\varphi \over dt}>0$ : ${du \over d\varphi }={\frac {1}{b}}$ soit $\tan L_{impact}={\frac {Rs}{b}}$.

La condition $b<b_{crit}$ entraîne alors :

$\tan L_{impact}>{\frac {Rs}{b_{crit}}}$ soit en remplaçant $b_{crit}$ par sa valeur (3.l) :

$\tan L_{impact}>{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}$ ou bien $L_{impact}>L_{crit}=\arctan {\Bigl (}{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\Bigr )}\simeq 21,1^{\circ }$.

Les autres cas d'impact sont les cas triviaux vus précédemment pour $b>b_{crit}$ et $R>r_{per}$, ou bien pour $b=b_{crit}$ et $R>{\frac {3}{2}}Rs$.

3.4. Photon émis depuis une source lumineuse non située à l'infini

A la différence du photon arrivant depuis l’infini, il existe une condition sur $b$ car le radicande de (3.j) doit être positif ou nul.

Fig. 7 - Deux trajectoires possibles d’un photon dévié par un trou noir de Schwarzschild et reliant deux points donnés A et B pour des valeurs de paramètres d’impact > $b_{crit}$ donnant des déviations de ${\frac {\pi }{2}}\ et\ \pi$.

Si $r_{em}$ est la coordonnée radiale du point d’émission du photon, la condition s’écrit avec $u_{em}={\frac {1}{r_{em}}}$ :

$Rsu_{em}^{3}-u_{em}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}>=0$ soit :

$b<=b_{max}={\frac {1}{u_{em}}}{\sqrt {\frac {1}{1-Rsu_{em}}}}=r_{em}{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r_{em}}}}}}$ (3.s)

en rappelant que $1-{\frac {Rs}{r_{em}}}$ est toujours positif ou nul puisque $r_{em}$ doit être plus grand ou égal à $Rs$ dans la métrique de Schwarzschild.

Le minimum de $b_{max}$ est obtenu pour $r_{em}={\frac {3}{2}}Rs=r_{crit}$, ce minimum valant ${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$ soit $b_{crit}$ (voir précédemment paragraphe 3.3.1 en écrivant $R=r_{em}$ dans la fonction $b_{lim}$).

3.5. Photon émis depuis une source lumineuse de coordonnée radiale appartenant à [R, 3/2 Rs[

L’objet compact a une masse $M$ et son rayon $R$ est supposé compris entre $Rs$ et ${\frac {3}{2}}Rs$.

3.5.1. Apoastre et impact

Fig. 8 - Trajectoire d’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir de Schwarzschild pour une valeur de paramètre d’impact > $b_{crit}$ telle que le photon effectue ½ tour avant son absorption par le trou noir.

Si $b_{crit}<b\leq b_{max}$, le maximum de $r$ vaut :

$r_{apo}={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {b_{crit}}{b}}\right)+{\frac {4\pi }{3}}\right)$. ( 3.t)

La coordonnée radiale de p augmente jusqu'à la valeur $r_{apo}$ puis diminue et p impacte l'objet compact.

Comme vu précédemment au paragraphe 3.3.1., (3.j) implique que la trajectoire de p est symétrique par rapport à la valeur de l’angle $\varphi$ à l’apoastre (qui annule ${du \over d\varphi }$).

Dans le cas d’un trou noir, (3.j) donne pour p entrant dans l’horizon des évènements et ${d\varphi \over dt}>0$ : ${du \over d\varphi }={\frac {1}{b}}$

Fig. 9 - Tracé de la trajectoire d’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir de Schwarzschild pour une valeur de paramètre d’impact > $b_{crit}$ telle que le photon effectue 2 tours autour du trou noir avant son absorption.

soit $\tan L_{impact}={\frac {Rs}{b}}$.

La condition $b>b_{crit}$ entraîne alors :

$\tan L_{impact}<{\frac {Rs}{b_{crit}}}$ soit en remplaçant $b_{crit}$ par sa valeur (3.l) :

$\tan L_{impact}<{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}$ ou bien $L_{impact}<L_{crit}=\arctan \left({\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}\right)\simeq 21,1^{\circ }$.

3.5.2. Orbite circulaire

Si $b=b_{crit}$, le résultat est identique à celui vu précédemment au paragraphe 3.3.5. : p se place sur une orbite circulaire instable de rayon $r_{crit}$ autour de l’objet compact.

Fig. 10 - Trajectoire d’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir de Schwarzschild pour la valeur de paramètre d’impact $b_{crit}$ (capture sur une orbite circulaire).

3.5.3. Libération

Si $b<b_{crit}$, (3.c) n’admet pas de racine positive ce qui signifie que $r$ n’a pas de maximum et que p s’éloigne de l’objet massif vers l’infini, sans condition sur la valeur de $R$.

Un photon émis depuis l’horizon des évènements ($r=Rs$) peut donc s’en échapper à la condition $b<b_{crit}$.

3.6. Moment cinétique nul à l'infini - Trajectoires radiales

$d\varphi =0$ (moment cinétique nul à l'infini) signifie que les trajectoires ne sont pas déviées (trajectoires radiales) et (3.a) devient pour une géodésique lumière :

$-\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)c^{2}dt^{2}+\left({\frac {1}{1-{\frac {Rs}{r}}}}\right)dr^{2}=0$ (3.u)

(3.u) donne $c^{2}dt^{2}={\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)^{2}}}$ soit $cdt=\pm {\frac {dr}{1-{\frac {Rs}{r}}}}=\pm {\frac {rdr}{r-Rs}}=\pm {\frac {(r-Rs+Rs)dr}{r-Rs}}=\pm \left(1+{\frac {Rs}{r-Rs}}\right)dr$

soit après intégration pour $r>Rs$ :

• si ${dr \over dt}<0$ (photon entrant) : $ct=-r-Rs\ln(r-Rs)+cte$,

• si ${dr \over dt}>0$ (photon sortant) : $ct=r+Rs\ln(r-Rs)+cte$, les valeurs $cte$ étant à déterminer suivant les conditions initiales.

Un photon p entrant depuis l’infini (ou depuis une coordonnée $r_{em}>R$ rayon de l’objet massif $\geq Rs$ sur l’axe $O_{x}$) aura une vitesse initiale $<0$ et restera sur cet axe en impactant l’objet massif lorsque $r$ atteindra $R$.

Un photon p sortant depuis une coordonnée $r_{em}>R\geq Rs$ sur l’axe $O_{x}$ aura une vitesse initiale $>0$ et restera sur cet axe en allant vers l’infini.

3.7. Intégrations numériques

(3.j) permet d'exprimer $d\varphi \over du$, et $\varphi (u)$ peut alors se calculer analytiquement par une intégrale elliptique de $d\varphi \over du$ dans le cas où il existe un périastre, ce qui n’est pas toujours le cas suivant la valeur de $b$ comme vu précédemment. De plus, le cas d’un photon émis à une coordonnée radiale très proche de $Rs$ ne peut être traité par cette méthode.

L’intégration numérique de $du \over d\varphi$ donné par (3.j) est possible avec néanmoins pour $b\geq b_{crit}$ une gestion délicate du changement de signe de $du \over d\varphi$ quand $r$ atteint $r_{per}$ ou $r_{apo}$.

Cependant, en écrivant :

${\left({du \over d\varphi }\right)^{2}}=Rs\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}$ (3.v)

l'équation différentielle du 3^ème ordre (3.v) peut se traiter en évitant la singularité due au changement de signe

${du \over d\varphi }=\pm {\sqrt {Rs\ u^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$

La dérivation de (3.v) donne en effet : $2\ {\frac {du}{d\phi }}{\frac {d^{2}u}{d\phi ^{2}}}=3\ R_{s}u^{2}{\frac {du}{d\phi }}-2\ u{\frac {du}{d\phi }}$ soit :

${d^{2}u \over d\varphi ^{2}}={\frac {3}{2}}\ Rs\ u^{2}-\ u$ (3.w)

L'équation différentielle (3.w) peut se résoudre alors numériquement avec les conditions initiales et lever les limites de l'intégrale elliptique de ${d\varphi \over du}$ vues précédemment.

Homothétie

Il est facile de vérifier que les trajectoires de deux photons $p_{1}(R_{s_{1}},b_{1})$ et $p_{2}(R_{s_{2}},b_{2})$ avec $b_{2}=b_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}$ seront identiques au facteur d’homothétie près ${\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}(={\frac {M_{2}}{M_{1}}})$ : $r_{2}(\varphi )={\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}r_{1}(\varphi )\left(={\frac {M_{2}}{M_{1}}}r_{1}(\varphi )\right)$.

3.7.1. Double intégration - Runge-Kutta ordre 4

(3.w) est une équation avec dérivée seconde qui peut s’intégrer numériquement comme suit par une méthode de Runge-Kutta d'orde 4 :

• avec $k1={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}(u(\varphi ))$, $k2={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}\left(u(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }(\varphi )\right)$, $k3={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}\left(u(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{2}}{du \over d\varphi }(\varphi )+\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)^{2}k1\right)$ et $k4={d^{2}u \over d\varphi ^{2}}\left(u(\varphi )+\Delta \varphi {du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {(\Delta \varphi )^{2}}{2}}k2\right)$, la valeur de ${du \over d\varphi }$ au pas suivant est :${du \over d\varphi }(\varphi +\Delta \varphi )={du \over d\varphi }(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{6}}(k1+2k2+2k3+k4)$
• avec $l1={du \over d\varphi }(u(\varphi ))$, $l2={du \over d\varphi }\left(u(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{2}}\ l1\right)$, $l3={du \over d\varphi }\left(u(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{2}}\ l2\right)$ et $l4={du \over d\varphi }(u(\varphi )+\Delta \varphi \ l3)$ , la valeur de $u$ au pas suivant est :$u(\varphi +\Delta \varphi )=u(\varphi )+{\frac {\Delta \varphi }{6}}(l1+2\ l2+2\ l3+l4)$, ce qui s’écrit avec $l2={du \over d\varphi }(u(\varphi ))+{\frac {\Delta \varphi }{2}}\ k1$, $l3={du \over d\varphi }(u(\varphi ))+{\frac {\Delta \varphi }{2}}\ k2$, $l4={du \over d\varphi }(u(\varphi ))+\Delta \varphi \ k3$ et après développement :

$u(\varphi +\Delta \varphi )=u(\varphi )+\Delta \varphi {du \over d\varphi }(\varphi )+\left({\frac {\Delta \varphi ^{2}}{6}}\right)(k1+k2+k3)$

Le pas $\Delta \varphi$ peut être choisi constant ou bien adaptatif suivant la précision souhaitée sur $r\left(={1 \over {u}}\right)$.

3.7.2. Conditions initiales

Les conditions initiales de ${du \over d\varphi }$ et de $u$ dans un repère fixe $O_{xy}$ indépendant de la direction initiale du photon se déterminent comme suit, à partir des coordonnées d'émission $(r_{em},\varphi _{em})$ du photon ($u_{em}={\frac {1}{r_{em}}}$), et deux cas possibles pour ${du \over d\varphi }$ :

1) photon entrant (${du \over dt}>0$) et ${d\varphi \over dt}>0$ ou photon sortant (${du \over dt}<0$) et ${d\varphi \over dt}<0$ : ${du \over d\varphi }={\sqrt {Rs\ u_{em}^{3}-u_{em}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$

2) photon sortant (${du \over dt}<0$) et ${d\varphi \over dt}>0$ ou photon entrant (${du \over dt}>0$) et ${d\varphi \over dt}<0$ :

${du \over d\varphi }=-{\sqrt {Rs\ u_{em}^{3}-u_{em}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$

Si le photon arrive depuis l'infini, $u_{em}=0$, il est entrant (${du \over dt}>0$) et les deux cas possibles deviennent :

1) ${du \over d\varphi }={1 \over b}$

2) ${du \over d\varphi }=-{1 \over b}$

Note : d’après l’égalité de (3.i), si dans le repère fixe $O_{xy}$ l’angle $\varphi$ croit avec le temps $t$ de l’observateur statique alors ${d\varphi \over dt}={\frac {bc}{r^{2}}}\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)$ et si $\varphi$ décroit ${d\varphi \over dt}=-{\frac {bc}{r^{2}}}\left(1-{\frac {Rs}{r}}\right)$, ce qui montre que tout au long de la trajectoire du photon le sens de variation de $\varphi$ reste constant.

3.8.      Application numérique

Avertissement : les valeurs numériques calculées ci-dessous sont données mathématiquement avec 15 chiffres, ce niveau de précision n’ayant pas de sens physique. Les résultats avec chiffres significatifs (liés à la précision des valeurs d’entrée $G,c,M$ et $R$ et à la formule de calcul) sont fournis en italique entre parenthèses.

$G$ constante gravitationnelle $6,6743\ 10^{-11}\ m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$

$c$ vitesse de la lumière dans le vide $299\ 792\ 458\ m.s^{-1}$

$M\odot$ masse du soleil $1,9884\ 10^{30}\ kg$

$Rs$ rayon de Schwarzschild calculé $=2\ 953,235415823111\ m$ (2 953 m)

$b_{crit}$ calculé =  ${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs=7\ 672,730680376143\ m$ (7 673 m)

$r_{crit}$ calculé =  ${\frac {3}{2}}Rs=4\ 429,853123734667\ m$ (4 430 m)

3.8.1. Photon arrivant depuis l'infini soumis au champ gravitationnel du soleil

$R\odot$ rayon du soleil $6,96342\ 10^{8}\ m$

(3.n) donne $b_{lim}=6,963434766224048\ 10^{8}m$ (6,96343 10⁸ m).

En choisissant $b=b_{lim}$ (cas où le photon passe au plus près du soleil),

(3.m) donne la valeur au périhélie $r_{per}=6,96342\ 10^{8}\ m=R\odot$ rayon du soleil.

${\frac {Rs}{b}}$vaut $4,24\ 10^{-6}$, et en considérant cette très faible valeur, l’utilisation de l’approximation (3.q) est justifiée et donne :

$\varphi _{0}\simeq 1,570800567856262\ rad$ (1,570800568 rad).

(3.r) donne déviation totale $\simeq 8,482122731005393\ 10^{-6}\ rad=1,7495634016749193\ seconde\ d'arc$ (1,750 seconde d’arc).

Note : à la précision de mesure près, les photographies du voisinage du disque solaire prises par Arthur Eddington et son équipe lors de l’éclipse totale sur l’île de Principe le 29 mai 1919 ont confirmé cette valeur (qui vaut deux fois la valeur de la théorie de la mécanique classique calculée par (2.p)).

3.8.2. Photon arrivant depuis l’infini et soumis au champ gravitationnel d’un objet compact

Note : le paragraphe 3.8.2. considère un objet compact de la masse du soleil et de rayon physique $R<r_{crit}$.

3.8.2.1.   b > bcrit

Le photon p arrive depuis l’infini et continue vers l’infini après avoir été dévié par l’objet compact. La valeur de la déviation est fixée par la valeur numérique de $b$.

A titre illustratif, à la précision d’intégration près de (3.j) :

une déviation totale de ${\frac {\pi }{2}}$ s’obtient avec $b=9\ 107\ m$ et (3.m) donne la valeur au périastre $r_{per}=6\ 880\ m$.

Note : ${\frac {Rs}{b}}$ vaut $0,325$, ce qui ne permet pas l’approximation (3.r).

Une déviation totale $\pi$ (soit un ½ tour) s’obtient avec $b=7\ 910\ m$, $r_{per}=5\ 199\ m$.

Un observateur placé sur une étoile ayant cette valeur de paramètre d'impact verrait dans la direction de l'objet compact sa propre étoile.

${\frac {3\pi }{2}}$ s’obtient avec $b=7\ 720\ m$, $r_{per}=4\ 738\ m$.

$2\pi$ (soit 1 tour autour de l'objet compact) s’obtient avec $b=7\ 682,4\ m$, $r_{per}=4\ 563\ m$.

Voir la figure 3 pour le tracé de ces quatre trajectoires (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$).

Une déviation totale de $4\pi$ (soit 2 tours) est obtenue avec $b=7\ 672,75\ m$ (soit $b_{crit}+2\ cm$ environ), $r_{per}=4\ 435,4\ m$.

Voir la figure 4 pour le tracé de cette trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$).

Enfin, une déviation totale de $8\pi$ (soit 4 tours) est obtenue avec $b\simeq b_{crit}+7\ 10^{-8}\ m$ et $r_{per}=4\ 429,864\ m$ (soit $r_{crit}+1\ cm$ environ).

Note : en s’affranchissant du modulo $2\pi$, la valeur maximale apparente de la déviation du photon est $\pi$.

3.8.2.2.    b = bcrit

p suit une orbite circulaire instable de coordonnée radiale $r_{crit}\simeq 4\ 429,853\ m$.

Cette valeur est la valeur minimale en deçà de laquelle le photon est absorbé par l'objet compact (voir paragraphe ci-dessous).

Voir la figure 5 pour le tracé de cette trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$).

3.8.2.3.    b < bcrit

p impacte l’objet compact.

Une variation $\varphi$ de $\pi$ à l’impact soit ½ tour s’obtient pour $b=6\ 582\ m$.

Voir la figure 6 pour le tracé de cette trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$).

3.8.2.4.    Interprétation des résultats et phénomènes observables à proximité d'un trou noir ( $R$ physique < $R_{s}$)

Sans considérer les géodésiques comportant un ou plusieurs tours des photons autour du trou noir, la déviation par un trou noir des rayons lumineux émis par une étoile donnera à un point donné d’observation deux images de l’étoile, correspondant aux deux géodésiques possibles des photons, voir précédemment paragraphe 3.1 (3.j). Si l’observateur n’est pas sur l’axe reliant l’étoile au centre du trou noir, les géodésiques auront un paramètre d’impact b différent.

Voir la figure 7 pour le tracé des deux trajectoires (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$), $b$ calculés pour des déviations de ${\frac {\pi }{2}}$ et $\pi$, soit ¼ et ½ tour), passant par des points A et B donnés.

De manière générale, la déviation par un trou noir des rayons lumineux émis par chaque étoile visible donnera à un point donné d’observation deux images distinctes à des azimuts opposés, une avec une latitude positive et l’autre avec une latitude négative. L’image avec l’angle apparent le plus élevé (la déviation la plus forte) sera celle située à l’azimut opposé à celui de la position réelle de l’étoile par rapport à l’observateur. Chacun des tours effectué par les photons autour du trou noir dupliquera les deux images décrites ci-dessus, la valeur absolue de la latitude diminuant avec le nombre de tours.

Fig. 11 - Anneau d'Einstein pour une source lumineuse et un observateur situés respectivement à $3Rs$ et $10Rs$ du centre d'un trou noir de Schwarzschild de masse $M\odot$

Une étoile située très précisément à la latitude $90^{\circ }$ ou $-90^{\circ }$, c’est-à-dire sur l’axe passant par l’observateur et le centre du trou noir, apparaitra à l’observateur sous la forme d’un cercle lumineux très fin centré sur cet axe (« anneau d’Einstein »), cercle dont le diamètre sera plus grand si l’étoile est plus proche ou si le nombre de tours autour du trou noir est plus grand.

Voir la figure 11 pour une source lumineuse proche du trou noir (la nappe entourant le trou noir représente les trajectoires des photons).

En supposant qu’un observateur puisse s'approcher d'un trou noir et résister à sa gravité, et qu’il regarde dans la direction opposée à celui-ci, les phénomènes suivants dépendront de la position de l’observateur :

a) observateur placé à la coordonnée radiale rcrit = 3/2 Rs

L’observateur verra toutes les étoiles visibles de l’univers rassemblées dans l’hémisphère située au-dessus de lui.

Par ailleurs, les étoiles ayant chacune des directions différentes d’observation, les orbites circulaires autour du trou noir des photons émis par ces étoiles constituent une surface sphérique de rayon $r_{crit}$, appelée par la suite "sphère de photons".

L’ensemble de la sphère de photons n’est pas observable par définition, cependant ses effets le sont : un observateur placé à la coordonnée radiale $r_{crit}$ verra tout autour de lui à la latitude $0^{\circ }$une fine ligne très lumineuse qui correspond aux photons décrits ci-dessus.

L’orbite décrite par les photons sur la sphère étant instable, comme vu précédemment au paragraphe 3.8.2.2, des photons peuvent s’en échapper (après un ou plusieurs tours autour du trou noir) et arriver à l’observateur. Dans ce cas, cette image indirecte de la sphère de photons est constituée de plusieurs cercles de rayon dont la valeur limite minimale est $b_{crit}$.

De plus, si un vaisseau spatial avait son axe longitudinal tangent à la sphère de photons avec ses phares éclairant vers l'avant, un observateur à bord verrait vers l’avant une image très déformée de l’arrière du vaisseau, (largeur très comprimée et hauteur très étirée, avec un renversement haut/bas), la hauteur angulaire de l'image valant $\arctan \left({\frac {hauteur\ du\ vaisseau}{longueur\ du\ vaisseau}}\right)$ (plus le vaisseau sera court, plus la hauteur de son image sera grande).

Les images d’ordre $n$ correspondant à $n$ tour(s) des photons autour du trou noir seront des segments verticaux très fins de même hauteur angulaire, qui se superposeront à l’image ci-dessus.

Ces phénomènes sont observables dans toutes les directions tangentes à la sphère de photons : si des projecteurs du vaisseau éclairent dans une de ces directions, l’observateur y verra l’image déformée de la partie du vaisseau située derrière lui.

b) observateur placé sur l'horizon des évènements du trou noir (coordonnée radiale = Rs)

Toutes les étoiles observables de l’univers (supposées situées à une très grande distance de l’observateur) apparaitront "rassemblées" au-dessus de l’observateur dans un disque de latitude apparente $L_{crit}$ soit $21,1^{\circ }$ environ ($\arctan \left({\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}\right)$, voir précédemment paragraphe 3.3.6.), la "contraction" étant faible pour les latitudes élevées (pas de contraction pour $90^{\circ }$ apparent), devenant plus forte pour les latitudes faibles et tendant vers l’infini pour la limite $L_{crit}$ de $21,1^{\circ }$, les photons devant effectuer plusieurs tours autour du trou noir pour s’approcher de cette limite en rentrant dans l'horizon des évènements). Le pourtour du disque sera constitué par les images des étoiles situées très précisément à la latitude $90^{\circ }$ ou $-90^{\circ }$ (voir plus haut). Les diamètres apparents des étoiles sont inférieurs aux diamètres réels, et diminuent de plus en plus sensiblement avec la latitude. Se reporter à l’annexe relativité générale B.2. pour plus de détail.

3.8.3. Photon émis depuis une coordonnée radiale < rcrit et soumis au champ gravitationnel d’un trou noir de masse M

Note : les valeurs numériques calculées ($m$) dans le paragraphe 3.8.3. sont relatives à un trou noir de la masse du soleil.

3.8.3.1. rem < Rs

Si le photon est émis depuis l’intérieur de l’horizon des évènements, il ne peut s'en rapprocher quelle que soit sa direction d'émission[4], et le photon rejoindra nécessairement le centre $O$ du trou noir.

3.8.3.2. rem = Rs

Un photon p sortant d'une source lumineuse placée sur l'extérieur de l'horizon des évènements ne pourra y échapper que si $b<b_{crit}$(voir précédemment paragraphe 3.5.1), ce qui correspond à une latitude d’émission (angle par rapport au plan tangent à la sphère de rayon $Rs$ au point d’émission) supérieure à $L_{crit}$ soit $21,1^{\circ }$ environ ($\arctan {\Bigl (}{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\Bigr )}$).

La géodésique du photon pouvant être parcourue dans un sens ou dans l’autre, ce cas correspond à celui vu au paragraphe 3.3.6. (photon arrivant depuis l’infini avec $b<b_{crit}$).

Voir la figure 6 pour le tracé de la trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$), $b$ calculé pour une déviation de $\pi$ soit 1/2 tour).

Si $b$ est très légèrement inférieur à $b_{crit}$, p effectuera plusieurs tours autour du trou noir avant de s’échapper vers l’infini.

Pour $b=b_{crit}$ (latitude d’émission = $L_{crit}$), p se placera sur l’orbite instable vue précédemment ($r=r_{crit}$).

Voir la figure 10 pour le tracé de la trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical$y=r\sin(\varphi )$).

Pour $b>b_{crit}$, (latitude d’émission $<L_{crit}$), p sera sortant dans un premier temps puis entrant dans un second temps et il reviendra dans l’horizon des évènements, sa latitude d’impact étant le même que sa latitude d’émission en valeur absolue $\tan L_{emission}={\frac {Rs}{b}}$ et $\tan L_{reception}=-{\frac {Rs}{b}}$

).

Avec par exemple $b=8\ 075\ m$ (calculé pour une variation de $\varphi =\pi$ soit un ½ tour), (3.k) donne la valeur de l’apoastre : $r_{apo}=3\ 784\ m$ .

Voir la figure 8 pour le tracé de la trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical$y=r\sin(\varphi )$), $b$ calculé pour une déviation de $\pi$ soit un 1/2 tour.

Si $b$ est très légèrement supérieur à $b_{crit}$, p effectuera plusieurs tours autour du trou noir avant d’entrer dans l’horizon des évènements.

Voir la figure 9 pour le tracé de la trajectoire (axe horizontal $x=r\cos(\varphi )$ et axe vertical $y=r\sin(\varphi )$), $b$ calculé pour une variation $4\pi$ soit 2 tours.

3.8.3.3.   rem appartient à [Rs, rcrit[

La trajectoire de p sera celle décrite au paragraphe précédent suivant la valeur de $b$ par rapport à $b_{crit}$.

3.8.3.4.  rem = rcrit

$b$ ne peut dépasser $b_{crit}$ qui vaut $b_{max}$ dans ce cas particulier (voir précédemment paragraphe 3.4 en écrivant rem $=r_{crit}$ dans (3.s)).

Pour $b=b_{crit}$, la latitude d’émission de p est nulle ce qui entraîne ${du \over d\varphi }=0$ et p est sur l’orbite instable $r=r_{crit}$.

Pour $b<b_{crit}$, p est sortant vers l’infini si ${d\varphi \over dt}<0$ tandis que p est entrant dans l’horizon des évènements si ${d\varphi \over dt}>0$.

Fig. 12 - Tracé du "chapeau" de l’image apparente des disques d’accrétion d’un trou noir de de Schwarzschild

3.8.4. Image des disques d'accrétion d'un trou noir

Par définition, il n'est pas possible de voir un trou noir. Cependant, dans le cas d'un trou noir stellaire avec des disques d'accrétion, la lumière émise par ces disques sera déviée suivant les règles vues précédemment.

Fig. 13 - Tracé des "cheveux et collier" de l’image apparente des disques d’accrétion d’un trou noir de Schwarzschild

En se limitant aux trajectoires des photons sans tour complet autour du trou noir, deux images apparentes des disques d’accrétion seront superposées : celle des trajectoires ${d\varphi \over dt}>0$ (voir la figure 12 pour "le chapeau") et celle des trajectoires ${d\varphi \over dt}<0$, le rayon apparent de l’horizon des évènements valant $b_{crit}$ comme vu précédemment (voir la figure 13 pour "les cheveux et le collier").

Exemple d’un trou noir de la masse du soleil avec des cercles d’accrétion de rayon $8Rs,7Rs,6Rs,5Rs,4Rs\ et\ 3Rs$ (dernière orbite stable), et un observateur situé à $10Rs$ du centre O du trou noir :

Fig. 14 - Exemple d'image apparente des disques d'accrétion d'un trou noir de Schwarzschild

La figure 14 représente l’image complète.

4.   CONCLUSION

L’application de la mécanique classique à la déviation d’un photon par un objet massif donne un résultat sensiblement différent de celui donné par la relativité générale pour un objet à symétrie sphérique.

Avec $M$ masse de l'objet, $R$ son rayon, $G$ constante de gravitation, $c$ vitesse de la lumière dans le vide, $r$ coordonnée radiale du photon, $b$ paramètre d'impact, $Rs$ rayon de Schwarzschild $={\frac {2GM}{c^{2}}}$, $e$ excentricité

$={\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}$, $bcrit={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs$ et $L_{crit}=\arctan \left({\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}\right)$, le tableau de synthèse ci-dessous relève les principales différences :

	Mécanique classique	Relativité générale	remarques
Trajectoire	fonction analytique (branche d'hyperbole, parabole, ellipse ou cercle)	intégration numérique
Périastre (photon arrivant depuis l'infini)	$rper={\frac {2b^{2}}{Rs(1+e)}}$	$rper={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {b}{bcrit}}\right)\right)$pour $b>b_{crit}$ voir figures 3 et 4
Coordonnée radiale minimale hors impact (photon arrivant depuis l'infini)	$R$	$\max \left(R,{\frac {3}{2}}Rs\right)$	en relativité générale, un photon arrivant depuis l'infini ne peut "s’approcher" à moins de ${\frac {3}{2}}Rs$ sans impacter l’objet massif.
Déviation totale (photon arrivant depuis l'infini)	$\simeq {\frac {Rs}{b}}$	$\simeq {\frac {2Rs}{b}}$
Déviation totale maximale (photon arrivant depuis l'infini)	180°	pas de valeur maximale	en relativité générale, les photons peuvent être capturés sur une orbite circulaire instable autour de l’objet massif créant une sphère de photons.
Rayon apparent d'un objet massif de rayon $R$ compris entre $Rs$ et ${\frac {3}{2}}Rs$	$\simeq R$	$bcrit$
Capture (photon arrivant depuis l'infini)	non	oui, sur une orbite de coordonnée radiale ${\frac {3}{2}}Rs$ pour $b=b_{crit}$ voir figure 5	en relativité générale, un photon peut être capturé sur une orbite instable autour de l’objet massif.
Impact (photon arrivant depuis l'infini)	$b<b_{lim}=R{\sqrt {1+{\frac {Rs}{R}}}}$	si $R>{\frac {3}{2}}Rs$ : $b<b_{max}=R{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {Rs}{R}}}}}$si $R\leq {\frac {3}{2}}Rs$ ∶ $b<b_{crit}$ avec dans le cas $R=Rs$ :$L_{impact}>L_{crit}\simeq 21,1^{\circ }$voir figure 6
Étoiles observables depuis l’horizon des évènements d’un trou noir	toutes les étoiles visibles situées entre la latitude -19,5° et +90°, avec un diamètre apparent qui diminue avec la latitude	toutes les étoiles visibles de l’univers, avec un diamètre apparent qui diminue sensiblement avec la latitude	en relativité générale, toutes les étoiles visibles de l’univers, depuis l’horizon des évènements d’un trou noir apparaissent "rassemblées" dans un disque de latitude $L_{crit}\approx 21,1^{\circ }$.
Observation et forme de l’image d’une étoile située "derrière" un trou noir sur l’axe passant par l’observateur et le centre du trou noir	condition : l’observateur doit être à une distance suffisante du trou noir L’image de l’étoile est alors un cercle très fin ("cercle de Newton")	pas de condition sur la distance entre l’observateur et l'horizon des évènements du trou noir. L’image de l’étoile est un cercle très fin (dit "anneau d’Einstein")	en relativité générale, le diamètre de l’anneau est supérieur à celui calculé en mécanique classique
Apoastre (photon émis depuis $r_{em}$ compris entre $Rs$ et ${\frac {3}{2}}Rs$)	non	$rapo={\frac {2b}{\sqrt {3}}}\cos {\biggl (}{\frac {1}{3}}\arccos {\Bigl (}-{\frac {b}{bcrit}}{\Bigr )}+{\frac {4\pi }{3}}{\biggr )}$ pour $b>b_{crit}$ voir figures 8 et 9	en relativité générale, le photon peut atteindre un apoastre et revenir dans l’horizon des évènements.
Capture (photon émis depuis $r_{em}$ compris entre $Rs$ et ${\frac {3}{2}}Rs$)	non	oui, sur une orbite de coordonnée radiale ${\frac {3}{2}}Rs$pour $b=b_{crit}$ voir figure 10	en relativité générale, le photon peut rejoindre la sphère de photons.
Libération (photon émis depuis $r_{em}=Rs$)	pas de condition	$b<b_{crit}$ soit une latitude d’émission $>L_{crit}\simeq 21,1^{\circ }$voir figure 6	la trajectoire de libération d’un photon correspond à sa trajectoire d’impact.
Rayon apparent d'un objet massif de rayon compris entre $Rs$ et ${\frac {3}{2}}Rs$	$R$	$bcrit$
Invariance de la vitesse de la lumière dans le vide	non en rapprochement depuis l'infini : $v(r)=c{\sqrt {1+{\frac {Rs}{r}}}}$ en éloignement depuis $r=R$ $v(r)=c{\sqrt {{1-{\frac {Rs}{R}}}{\Bigl (}1-{\frac {Rs}{r}}{\Bigr )}}}$	oui	en mécanique classique, la vitesse d’un photon dans un champ gravitationnel est variable et peut être $<$ ou $>c$.
Homothétie des trajectoires	si $b_{2}=b_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}$ alors $r_{2}=r_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}=r_{1}{\frac {M_{2}}{M_{1}}}$	si $b_{2}=b_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}$ alors $r_{2}=r_{1}{\frac {R_{s_{2}}}{R_{s_{1}}}}=r_{1}{\frac {M_{2}}{M_{1}}}$	en mécanique classique et en relativité générale, les trajectoires des photons sont homothétiques dans le rapport ${\frac {M_{2}}{M_{1}}}$ si $b_{2}={\frac {M_{2}}{M_{1}}}b_{1}$.

En conclusion, il apparait que la mécanique classique ne permet pas de prédire le comportement des photons placés dans un champ gravitationnel intense créé par un objet compact. Dans le cadre de la relativité générale, la métrique et les coordonnées de Schwarzschild sont une première approche avec des limites pour :

-    l’étude des cas astrophysiques, la grande majorité des objets étant en rotation et par conséquent non sphériques,

-    l’étude des trous noirs eux-mêmes, le rayon de Schwarzschild étant une barrière immatérielle liée au système de coordonnées utilisé;

Tout en restant dans le cadre de la relativité générale, il est possible de dépasser ces limites avec la métrique de Kerr et le système de coordonnées d’Eddington-Finkelstein dites 3+1.

En synthèse, la relativité générale explique le mieux à l’heure actuelle les phénomènes observés sur la déviation de la lumière par les objets massifs, et a mis en évidence d’autres phénomènes tel que le décalage de fréquence de la lumière des étoiles vers le rouge pour un observateur terrestre, l’effet Shapiro (retard de la lumière) qui peut permettre de mesurer la masse de corps célestes situés à de très grandes distances du système solaire, ou encore le décalage d'horloge des satellites qu'il est nécessaire de corriger pour obtenir la précision GPS.

ANNEXE A - MÉCANIQUE CLASSIQUE

A.1. Calcul de L et dL/dφ

En remplaçant ${du \over d\varphi }$ par sa valeur (2.k) dans l’expression $\tan(L)={\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$, il vient :

$\tan(L)=\pm {\sqrt {{\frac {Rs}{b^{2}u}}-1+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {Rsr}{b^{2}}}-1+{\frac {r^{2}}{b^{2}}}}}$ (2.u)

sachant que ${dL \over d\varphi }={\frac {d\tan(L(\varphi )) \over d\varphi }{1+\tan ^{2}(L(\varphi ))}}={\frac {d{\bigl (}{\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }{\bigr )} \over d\varphi }{1+\tan ^{2}(L(\varphi ))}}$, il vient :

${dL \over d\varphi }={\frac {{\frac {1}{u}}{d^{2}u \over d\varphi ^{2}}-{\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}}{{\frac {Rs}{b^{2}u}}+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}$

Soit en remplaçant ${d^{2}u \over d\varphi ^{2}}$ et ${\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}$ par leurs valeurs respectives données par (2.l) et (2.k) :

${dL \over d\varphi }={\frac {{\frac {1}{u}}{\bigl (}{-u+{\frac {Rs}{2b^{2}}}}{\bigr )}-{\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}{\frac {Rsu}{b^{2}}}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigr )}}{{\frac {Rs}{b^{2}u}}+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}=-{\frac {{\bigl (}{\frac {Rsu}{2}}+1{\bigr )}}{(Rsu+1)}}=-{\frac {{\bigl (}{\frac {Rs}{2r}}+1{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {Rs}{r}}+1{\bigr )}}}$ (2.v)

A.2. Calcul de Emeca

(2.b) donne ${\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}={\frac {G^{2}M^{2}}{K^{4}}}e^{2}\sin ^{2}(\varphi -\varphi _{0})$,

soit avec $e^{2}\sin ^{2}(\varphi -\varphi _{0})=e^{2}-e^{2}\cos ^{2}(\varphi -\varphi _{0})$ qui vaut d’après (2.b) $e^{2}-{\Bigl (}{\frac {K^{2}}{GM}}u-1{\Bigr )}^{2}$:

${\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}={\frac {G^{2}M^{2}}{K^{4}}}{\biggl (}e^{2}-{\Bigl (}{\frac {K^{2}}{GM}}u-1{\Bigr )}^{2}{\biggr )}={\frac {G^{2}M^{2}}{K^{4}}}(e^{2}-1)-u^{2}+{\frac {2GM}{K^{2}}}u$ (2.w)

Par ailleurs, $v^{2}(r,\varphi )={\bigl (}{dr \over dt}{\bigr )}^{2}+{\bigl (}r{d\varphi \over dt}{\bigr )}^{2}$ donne avec $r={\frac {1}{u}}$ :

$v^{2}(r,\varphi )={\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}{\frac {d\varphi }{dt}}{\bigr )}^{2}{\Bigl (}{\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}{\frac {du}{d\varphi }}{\bigr )}^{2}+1{\Bigr )}$ et sachant que ${\bigl (}r^{2}{d\varphi \over dt}{\bigr )}^{2}$ vaut $K^{2}$, il vient :

$v^{2}(r,\varphi )=K^{2}{\Bigl (}{\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}$

ce qui donne en remplaçant ${\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}$ par sa valeur (2.w) :

$v^{2}(r,\varphi )=K^{2}{\Bigl (}{\frac {G^{2}M^{2}}{K^{4}}}(e^{2}-1)+{\frac {2GMu}{K^{2}}}{\Bigr )}={\frac {G^{2}M^{2}}{K^{2}}}(e^{2}-1)+2GMu$ (2.x)

Sachant que $Emeca={\frac {1}{2}}mv^{2}(r,\varphi )-GmMu$, (2.x) permet alors d’établir :

$Emeca={\frac {G^{2}mM^{2}}{2K^{2}}}(e^{2}-1)+GmMu-GmMu={\frac {(GmM)^{2}}{2mK^{2}}}(e^{2}-1)$ (2.y)

A.3. Photon émis depuis une source lumineuse non située à l’infini

La conservation de l’énergie mécanique permet de déterminer la vitesse théorique du photon p à l’infini en considérant qu’à l’émission sa distance $r_{em}$ est $\geq Rs$ et sa vitesse est $c$ :

${\frac {1}{2}}v_{\infty }^{2}={\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {GM}{r_{em}}}$ soit $v_{\infty }=c{\sqrt {1-{\frac {Rs}{r_{em}}}}}$ ce qui donne avec (2.c) et (2.d) respectivement :

$u(\varphi )={\frac {Rs}{2b^{2}(1-{\frac {Rs}{r_{em}}})}}(1+e\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ avec au périastre $r_{per}={\frac {2b^{2}(1-{\frac {Rs}{r_{em}}})}{Rs(1+e)}}$ et

$e={\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}{\Bigl (}1-{\frac {R_{s}}{r_{em}}}{\Bigr )}^{2}}}$

L’axe de symétrie $\varphi _{0}$ s’obtient avec la condition initiale $u(\varphi _{em})={\frac {Rs}{2b^{2}(1-{\frac {Rs}{r_{em}}})}}(1+e\cos(\varphi _{em}-\varphi _{0}))={\frac {1}{r_{em}}}$ soit :

$\varphi _{0}=\varphi _{em}+\arccos {\Biggl (}{\frac {{\frac {2b^{2}(1-{\frac {Rs}{r_{em}}})}{r_{em}Rs}}-1}{\sqrt {1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}{\bigl (}1-{\frac {Rs}{r_{em}}}{\bigr )}^{2}}}}{\Biggr )}$

Le cas très particulier d’une trajectoire circulaire de rayon $R_{c}$ autour de l’objet massif et parcourue à la vitesse de la lumière dans le vide s’obtient en prenant $K=cR_{c}$ (émission du photon tangentiellement au cercle de rayon $R_{c}$) et $e=0$ dans (2.b) et en écrivant $u=cte={1 \over R_{c}}$ soit :

${1 \over R_{c}}={\frac {GM}{c^{2}R_{c}^{2}}}$ d'où $R_{c}={\frac {GM}{c^{2}}}={R_{s} \over 2}$.

Il s’agit du seul cas où la mécanique classique donne pour le photon une vitesse invariante égale à $c$.

A.4. Particule avec vitesse nulle à l’infini et K non nul

Pour $v_{\infty }=0$, le paramètre d’impact $b={\frac {K}{v_{\infty }}}$ n’est pas défini.

L’énergie mécanique $Emeca$ est nulle ce qui entraîne d’après (2.y) une excentricité $e=1$ soit une trajectoire parabolique.

(2.b) donne : $u(\varphi )={\frac {c^{2}Rs}{2K^{2}}}(1+\cos(\varphi -\varphi _{0}))$ avec au périastre $rper$ = ${\frac {2K^{2}}{c^{2}Rs}}$.

L’axe de symétrie avec la condition initiale $u(0)=0$ s’obtient avec $\cos(\varphi _{0})=-1$ soit $\varphi _{0}=\pi$, ce qui donne $u(\varphi )={\frac {c^{2}Rs}{2K^{2}}}(1-\cos(\varphi ))$ et une déviation totale = $2\varphi _{0}-\pi$ = $\pi$.

Si l’objet massif est une sphère de rayon $R$, la condition pour que la particule n’impacte pas l’objet massif est $R>r_{per}$ soit $K>K_{lim}=c{\sqrt {RRs}}$.

Équation cartésienne

$r$ peut s’écrire $r={\frac {2K^{2}}{c^{2}Rs}}+r\cos(\varphi )$ soit ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {2K^{2}}{c^{2}Rs}}+x$.

Au carré, cette égalité devient : $x^{2}+y^{2}={\frac {4K^{4}}{c^{4}Rs^{2}}}+{\frac {4K^{2}}{c^{2}Rs}}x+x^{2}$, soit :

$x={\frac {c^{2}Rs}{4K^{2}}}y^{2}-{\frac {K^{2}}{c^{2}Rs}}={\frac {y^{2}}{4r_{per}}}-r_{per}$.

Photon émis depuis Rs (rem = Rs) à la vitesse c

$Emeca$ vaut ${\frac {1}{2}}mc^{2}-{\frac {GmM}{Rs}}$ qui est nul puisque par définition $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$ ce qui entraîne d’après (2.w) une excentricité $e=1$ et une trajectoire parabolique.

La vitesse du photon p à l’infini $v_{\infty }$ sera nulle puisque $Emeca=0$.

Si $\alpha _{em}$ est l’angle d’émission par rapport à l’axe $Ox$, les coordonnées du vecteur vitesse $c$ initial de p dans le repère $O_{xy}$ sont $c_{x}=c\ \cos(\alpha _{em})$ et $c_{y}=c\ \sin(\alpha _{em})$ et $K=\ \parallel {\overrightarrow {OP}}\land {\overrightarrow {v}}\parallel \ =\ x_{em}c_{y}-y_{em}c_{x}$ vaut $cRs(\sin(\alpha _{em})\cos(\varphi _{em})-\cos(\alpha _{em})\sin(\varphi _{em}))$ soit $cRs\sin(\alpha _{em}-\varphi _{em})$.

Avec la latitude d’émission $L_{em}={\frac {\pi }{2}}-(\alpha _{em}-\varphi _{em})$ (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon $Rs$ au point d’émission), et pour $L_{em}\neq {\frac {\pi }{2}}$, (2.b) donne alors :

$u(\varphi )={\frac {1+\cos(\varphi -\varphi _{0})}{2Rs\cos ^{2}(L_{em})}}$ avec au périastre $r_{per}=Rs\cos ^{2}(L_{em})$.

L’axe de symétrie $\varphi _{0}$ s’obtient avec la condition initiale $u(\varphi _{em})={\frac {1+\cos(\varphi _{em}-\varphi _{0})}{2Rs\cos ^{2}(L_{em})}}={\frac {1}{Rs}}$soit $\varphi _{0}=\varphi _{em}+\arccos(2\cos ^{2}(L_{em})-1)$.

$K$ vaut $cRs\cos(L_{em})$.

Pour $L_{em}=0$ (émission dans le plan tangent à la sphère de rayon $Rs$), la trajectoire du photon est une demi-parabole avec $K=cRs={\frac {2GM}{c}}$, tangente à la sphère puisque $r_{per}=Rs$, et qui peut être parcourue dans les deux sens (particule émise à la vitesse $c$ depuis $Rs$ ou entrante depuis l’infini à vitesse nulle).

La déviation totale est $\pi$ pour la parabole complète.

Note : le cas $L_{em}={\frac {\pi }{2}}$  correspond à une trajectoire radiale ($\varphi =cte=\varphi _{em}$).

A.5. Impact d'un photon entrant depuis l'infini à la vitesse c

Lorsque le paramètre d’impact $b$ est inférieur à $b_{lim}$, le photon p impacte l’objet massif de rayon $R$, et (2.j) avec $u={\frac {1}{R}}$ donne :

${\frac {RRs}{2b^{2}}}(1+e\cos(\varphi _{impact}-\varphi _{0}))=1$ (2.z),

ce qui conduit, après développement en remplaçant $e$ et $\varphi _{0}$ par leur valeur respective donnée par (2.g) et (2.h), à :

$\varphi _{impact1}=\arccos {\Biggl (}{\frac {1}{1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}{\Bigl (}1-{\frac {2b^{2}}{RRs}}-{\frac {4b^{2}}{RRs^{2}}}{\sqrt {R^{2}+RRs-b^{2}}}{\Bigr )}{\Biggr )}$

et $\varphi _{impact2}=\arccos {\Biggl (}{\frac {1}{1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}{\Bigl (}1-{\frac {2b^{2}}{RRs}}+{\frac {4b^{2}}{RRs^{2}}}{\sqrt {R^{2}+RRs-b^{2}}}{\Bigr )}{\Biggr )}$ (2.aa)

avec $\varphi _{impact}=\min(\varphi _{impact1},\varphi _{impact2})$, l’autre angle correspondant à la "sortie" de l’objet massif si p pouvait le traverser.

Par ailleurs, les expressions de $\varphi _{impact1}$et $\varphi _{impact2}$ en arcsin peuvent s’écrire :

$\varphi _{impact1}=\arcsin {\Biggl (}{\frac {2b}{Rs}}{\frac {1}{1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}{\Bigl (}{\frac {2b^{2}}{RRs}}-1+{\frac {4b^{2}}{RRs^{2}}}{\sqrt {R^{2}+RRs-b^{2}}}{\Bigr )}{\Biggr )}$

et $\varphi _{impact2}=\arcsin {\Biggl (}{\frac {2b}{Rs}}{\frac {1}{1+{\frac {4b^{2}}{Rs^{2}}}}}{\Bigl (}{\frac {2b^{2}}{RRs}}-1-{\frac {4b^{2}}{RRs^{2}}}{\sqrt {R^{2}+RRs-b^{2}}}{\Bigr )}{\Biggr )}$ (2.ab)

$L$ défini précédemment représente pour $\varphi =\varphi _{impact}$ la latitude d’impact de p (angle avec le plan tangent au point d’impact à l’objet massif).

Pour $r=R$, (2.x) donne $\tan {\bigl (}L(\varphi _{impact}){\bigr )}=\pm {\frac {\sqrt {R^{2}+RRs-b^{2}}}{b}}=\pm {\sqrt {{\frac {b_{lim}^{2}}{b^{2}}}-1}}$ (2.ac)

Dans le cas où $b=0$, $\varphi _{impact}=0$ et $L(0)={\frac {\pi }{2}}$.

Dans le cas où $b=b_{lim}$, $\varphi _{impact}$ admet une racine double obtenue en remplaçant $b_{lim}$ par sa valeur (2.n) :

$\varphi _{impact}=\arccos {\Bigl (}{\frac {-Rs}{Rs+2R}}{\Bigr )}$ (2.ad), qui n’est autre que $\varphi _{0}$,

et $L(\varphi _{impact})=0$ ce qui signifie que p tangente la surface de l’objet massif au point d’impact.

Contraction des directions angulaires

Un observateur placé à la surface de l'objet massif au point d’impact relève une direction apparente $\varphi _{apparent}={\frac {\pi }{2}}-L(\varphi _{impact})$ pour une direction réelle d’émission $\simeq \varphi _{impact}$ (en considérant que $R\ll$ distance d'émission du photon).

Lorsque le rayon $R$ de l’objet massif vaut $Rs$, des valeurs numériques exactes sont obtenues pour certaines conditions.

a) b proche de 0

(2.aa) entraîne : $\varphi _{impact1}\simeq {\frac {2b}{Rs}}{\Bigl (}{\frac {b_{lim}}{R}}-1{\Bigr )}$

et (2.ac) entraîne : $\cot(L(\varphi _{impact1}))\simeq {\frac {b_{lim}}{b}}$, soit $\varphi _{apparent}={\frac {\pi }{2}}-L(\varphi _{impact1})\simeq {\frac {b}{b_{lim}}}$.

D’où ${\frac {\varphi _{apparent}}{\varphi _{impact1}}}\simeq {\frac {Rs}{2b_{lim}}}{\biggl (}{\frac {1}{{\frac {b_{lim}}{R}}-1}}{\biggr )}$

et pour $R=Rs$ sachant que $b_{lim}={\sqrt {2}}Rs$ :

$\lim _{b\to 0}{\frac {\varphi _{impact1}}{\varphi _{apparent}}}=2{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}-1)\simeq 1,172$ (facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de $0$, indépendant de la masse du trou noir).

b) φimpact = 90°

Pour $R=Rs$, (2.j) donne :

${\frac {du}{d\varphi }}=-{\frac {Rs}{2b^{2}}}e\cos(\varphi _{0})={\frac {Rs}{2b^{2}}}$soit ${\frac {1}{u}}{\frac {du}{d\varphi }}={\frac {Rs^{2}}{2b^{2}}}$ puisque $u={\frac {1}{Rs}}$ à l’impact.

Par ailleurs, (2.y) donne : $\tan {\bigl (}L(\varphi _{impact}){\bigr )}={\sqrt {{\frac {2Rs^{2}}{b^{2}}}-1}}$ qui vaut aussi d'après le paragraphe 2.2. ${\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$ soit ${\frac {Rs^{2}}{2b^{2}}}$ comme vu ci-dessus, d’où l’équation ${\frac {Rs^{4}}{2b^{4}}}-{\frac {2Rs^{2}}{b^{2}}}+1=0$.

Cette équation en ${\frac {Rs^{2}}{b^{2}}}$  admet deux racines : $4\pm 2{\sqrt {3}}$ d’où les deux valeurs possibles de $L(90^{\circ })=\arctan(2\mp {\sqrt {3}})=15^{\circ }$ou $75^{\circ }$, la 1ère valeur correspondant comme vu précédemment à l’impact et la 2ème à la "sortie" si p pouvait traverser le trou noir.

${\frac {\varphi _{impact}}{\varphi _{apparent}}}={\frac {90^{\circ }}{90^{\circ }-15^{\circ }}}=1,2$ (facteur de contraction des directions angulaires pour $\varphi _{impact}=90^{\circ }$, indépendant de la masse du trou noir).

c) b = blim

$\varphi _{impact1}=\varphi _{0}$ et $L(\varphi _{impact1})=0$ comme vu précédemment, d’où :

${\frac {\varphi _{impact1}}{\varphi _{apparent}}}={\frac {2\varphi _{0}}{\pi }}$

et pour $R=Rs$, (2.ab) donne :

$\varphi _{0}=\arccos(-{\frac {1}{3}})$

d’où ${\frac {\varphi _{impact1}}{\varphi _{apparent}}}={\frac {2\arccos(-{\frac {1}{3}}{\bigr )}}{\pi }}\simeq 1,216$ (facteur de contraction des directions angulaires au voisinage de $\varphi _{0}$, indépendant de la masse du trou noir).

Contraction des diamètres apparents des étoiles

La contraction des diamètres apparents des étoiles correspond au ratio ${\frac {\Delta L\ reel}{\Delta L\ apparent}}$ pour une latitude $L$ donnée.

Pour $b=b_{lim}$ et $r=Rs$, ce ratio peut se calculer avec (2.v) :

${dL \over d\varphi }=-{\frac {{\bigl (}{\frac {Rs}{2Rs}}+1{\bigr )}}{{\bigl (}{\frac {Rs}{Rs}}+1{\bigr )}}}=-{\frac {3}{4}}$ d’où ${\frac {\Delta L\ reelle}{\Delta L\ apparent}}={-d\varphi \over dL}={\frac {4}{3}}$.

En synthèse, le calcul analytique donne les résultats suivants à l’horizon des évènements d’un trou noir :

$L\ reelle$	$L\ apparente$	$Facteur\ de\ contraction$	${\frac {\Delta L\ reel}{\Delta L\ apparent}}$
$90^{\circ }$	$90^{\circ }$	$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}-1)\simeq 1,172$
$45^{\circ }$	$51,8^{\circ }$	$\simeq 1,178$	$\simeq 1,189$
$0^{\circ }$	$15^{\circ }$	$\arctan(2-{\sqrt {3}})=1,2$	$\simeq 1,261$
$90^{\circ }-\arccos(-{\frac {1}{3}})\simeq -19,5^{\circ }$	$0^{\circ }$	${\frac {2\arccos(-{\frac {1}{3}})}{\pi }}\simeq 1,216$	${\frac {4}{3}}$

ANNEXE B - RELATIVITÉ GÉNÉRALE

B.1. Calcul de L et de dL/dφ

L’angle complémentaire de l’angle $V$ (tangente à la trajectoire) est défini par $\tan(L)={\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }$

ce qui donne avec (3.j) : $\tan(L)=\pm {\sqrt {Rsu-1+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {Rs}{r}}-1+{\frac {r^{2}}{b^{2}}}}}$ (3.x)

sachant que ${dL \over d\varphi }={\frac {d\tan(L(\varphi )) \over d\varphi }{1+\tan ^{2}(L(\varphi ))}}={\frac {d{\bigl (}{\frac {1}{u}}{du \over d\varphi }{\bigr )} \over d\varphi }{1+\tan ^{2}(L(\varphi ))}}$, il vient :

${dL \over d\varphi }={\frac {{\frac {1}{u}}{d^{2}u \over d\varphi ^{2}}-{\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}}{{\frac {Rs}{b^{2}u}}+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}$

Soit en remplaçant ${d^{2}u \over d\varphi ^{2}}$ et ${\bigl (}{du \over d\varphi }{\bigr )}^{2}$ par leurs valeurs respectives données par (3.v) et (3.j) :

${dL \over d\varphi }={\frac {{\frac {1}{u}}{\bigl (}{{\frac {3}{2}}Rsu^{2}-u}{\bigr )}-{\frac {1}{u^{2}}}{\bigl (}Rsu^{3}-u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigr )}}{{\frac {Rs}{b^{2}u}}+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}={\frac {{\frac {Rsu}{2}}-{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}{Rsu+{\frac {1}{b^{2}u^{2}}}}}={\frac {{\frac {Rs}{2r}}-{\frac {r^{2}}{b^{2}}}}{{\frac {Rs}{r}}+{\frac {r^{2}}{b^{2}}}}}$ (3.y)

B.2. Résolution de r³ - rb² + b²Rs = 0 par la méthode de Cardan et discussion des trajectoires du photon p

(3.k) est équivalent à $F(r)=r^{3}-rb^{2}+b^{2}Rs=0$ (3.z)

en notant que $F(r)$ est toujours positif ou nul car avec (3.h) et après calcul il vient :

$F(r)={\frac {b}{r}}{\biggl (}{dr \over d\varphi }{\biggr )}^{2}$.

(3.z) est une équation polynomiale dépréciée de degré 3 en $r$ qui admet trois solutions $r_{0}$, $r_{1}$ et $r_{2}$ et qui peut se résoudre par la méthode de Cardan.

En posant $F(r)=r^{3}+Ar+B=0$, le discriminant de l’équation vaut :

$\Delta =-(4A^{3}+27B^{2})$ soit avec $A=-b^{2}$et $B=b^{2}Rs$ :

$\Delta =b^{4}(4b^{2}-27Rs^{2})$

Si $\Delta >0$, il existe trois solutions réelles $r_{0}$, $r_{1}$ et $r_{2}$ distinctes, si $\Delta =0$, les trois solutions sont réelles et une est double et si $\Delta <0$, une seule solution est réelle et les deux autres solutions sont complexes conjuguées.

D’autre part, les solutions à retenir pour (3.z) doivent appartenir à $[0,+\infty [$ (par définition de $r$ coordonnée radiale).

L’équation (3.z) étant issue de (3.k) qui suppose que b n'est pas nul, la valeur qui annule $\Delta$ est la valeur critique $b_{crit}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}Rs\ (={\sqrt {3}}\ r_{crit}$ avec $r_{crit}={3 \over 2}R_{s})$.

Pour la discussion ci-dessous des trajectoires du photon, il est considéré un objet massif de masse $M$ représenté par une sphère de rayon $R$ (le rayon de Schwarzschild associé valant $Rs={\frac {2GM}{c^{2}}}$).

a) Cas b > bcrit ou Δ > 0

Les trois solutions sont réelles et s’écrivent :

$rk=2{\sqrt {-{\frac {A}{3}}}}\cos {\biggl (}{\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}{\frac {3B}{2A}}{\sqrt {(}}-{\frac {3}{A}}{\biggr )}{\biggr )}+2k{\frac {\pi }{3}}$ avec $k\in \{0,1,2\}$

ce qui donne en remplaçant $A$ et $B$ par leur valeur respective :

$rk={\frac {2\ b}{\sqrt {3}}}\cos {\biggl (}{\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}-{\frac {bcrit}{b}}{\biggr )}{\biggr )}+2k{\frac {\pi }{3}}$avec $k\in \{0,1,2\}$

Puisque $b>bcrit$,  $-{\frac {bcrit}{b}}\in \ ]-1,0[$ donc $\arccos {\biggl (}-{\frac {bcrit}{b}}{\biggr )}\in \ ]{\frac {\pi }{2}},\pi [$ ce qui entraîne :

${\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}-{\frac {bcrit}{b}}{\biggr )}\in \ ]{\frac {\pi }{6}},{\frac {\pi }{3}}[$ soit $r_{0}\in \ ]{\frac {b}{\sqrt {3}}},b[$,

${\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}-{\frac {bcrit}{b}}{\biggr )}+{\frac {2\pi }{3}}\in \ ]{\frac {5\pi }{6}},\pi [$ soit $r_{1}\in \ ]-b,-{\frac {2b}{\sqrt {3}}}[$,

${\frac {1}{3}}\arccos {\biggl (}-{\frac {bcrit}{b}}{\biggr )}+{\frac {4\pi }{3}}\in \ ]{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{3}}[$ soit $r_{2}\in \ ]0,{\frac {b}{\sqrt {3}}}[$.

Les intervalles d'appartenance ci-dessus entraînent $r_{1}<0<r_{2}<r_{0}$

$\Rightarrow$ (3.z) admet deux solutions $r_{2}$ et $r_{0}$ sur $]0,+\infty [$.

Pour les valeurs positives de $r$, $F(r)$ prend une valeur positive ou nulle sur $]0,r_{2}]$ et sur $[r_{0},+\infty [$.

Photon entrant depuis l’infini

La coordonnée radiale $r$ de p appartient à $]r_{0},+\infty [$.

En supposant que $R<r_{0}$, $r$ atteint $r_{0}$ (passage au périastre $F(r_{0})=0$) puis p continue vers l’infini. Si $R>r_{0}$, p impacte l’objet massif quand $r=R$. A noter que $r$ ne peut atteindre $r_{2}$ puisque $r_{2}<r_{0}$.

Note : un photon p avec une cordonnée radiale $<r_{2}$ se dirigera vers le point $O$ centre de l’objet massif et atteindra ce dernier (la valeur de $r$ ne peut dépasser $r_{2}$ car cela conduirait à $F(r)<0$ ce qui est impossible puisque $F(r)$ est positif ou nul comme indiqué précédemment).

Photon sortant depuis l'horizon des évènements vers l'extérieur

La coordonnée radiale $r$ de p appartient à $[Rs,r_{2}[$.

$r$ atteint $r_{2}$ (passage à l’apoastre $F(r_{2})=0$) puis p revient dans l'horizon des évènements de l'objet massif.

Note : comme vu précédemment, la valeur de $r$ ne peut dépasser $r_{2}$.

La condition pour qu’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir ($rem=Rs$) revienne dans l’horizon des évènements est donc $b>bcrit$.

b) Cas b = bcrit ou Δ = 0

Les trois solutions sont réelles et une est double :

$r_{1}={\frac {3B}{A}}$ et $r_{0}=r_{2}=-{\frac {3B}{2A}}$

ce qui donne en remplaçant $A$ et $B$ par leur valeur respective :

$r_{1}=-3Rs$ et $r_{0}=r_{2}=-{\frac {3}{2}}Rs$

$\Rightarrow$ (3.z) admet une solution $rcrit={\frac {3}{2}}Rs$ sur $]0,+\infty [$.

Photon entrant depuis l'infini

En supposant que $R<{\frac {3}{2}}Rs$, il s’agit du cas limite où la coordonnée radiale $r$ de p entrant depuis l’infini atteint asymptotiquement "par le haut" la valeur $r_{0}=r_{2}=rcrit={\frac {3}{2}}Rs$ et p se place sur une orbite circulaire de rayon $rcrit$ autour de l’objet massif. Cette orbite est instable : comme vu précédemment, si $r$ devient plus grand que $rcrit=r_{0}$, p continue vers l’infini, et si $r$ devient plus petit que $rcrit=r_{2}$, p suit une trajectoire vers le point $O$ centre de l’objet massif et atteint ce dernier. Si $R>{\frac {3}{2}}Rs$, p impacte l’objet massif quand $r=R$.

Photon sortant depuis l'horizon des évènements de l’objet massif vers l’extérieur

En supposant que $R<{\frac {3}{2}}Rs$, il s'agit du cas limite où la coordonnée radiale $r$ de p sortant depuis $R_{s}$ atteint asymptotiquement "par le bas" la valeur $r_{2}=r_{0}=rcrit={\frac {3}{2}}Rs$ et p se place sur une orbite circulaire de rayon $rcrit$ autour de l’objet massif. Cette orbite est instable : comme vu précédemment, si $r$ devient plus petit que $rcrit=r_{2}$, p revient vers l’objet massif, et si $r$ devient plus grand que $rcrit=r_{0}$, p s'en échappe et suit une trajectoire vers l’infini.

Il est à noter que l’objet massif n’est pas nécessairement un trou noir puisqu’un objet compact de rayon $R\in ]Rs,{\frac {3}{2}}Rs[$ permet l’orbite circulaire de p décrite ci-dessus.

c) Cas b < bcrit ou Δ < 0

Une seule solution est réelle et les deux autres solutions sont complexes conjuguées.

La solution réelle est :

$r_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {-B+{\sqrt {\frac {-\Delta }{27}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-B-{\sqrt {\frac {-\Delta }{27}}}}{2}}}$

En remplaçant dans (3.s) $bcrit$ par sa valeur, $\Delta$ peut s’écrire :

$\Delta =4b^{4}(b^{2}-bcrit^{2})$

ce qui donne en remplaçant $B$ et $\Delta$ par leurs valeurs respectives et après calcul :

$r1={\frac {\sqrt[{\frac {3}{2}}]{b}}{\sqrt {3}}}({\sqrt[{3}]{-bcrit+{\sqrt {bcrit^{2}-b^{2}}}}}-{\sqrt[{3}]{bcrit+{\sqrt {bcrit^{2}-b^{2}}}}})$

En remarquant que $-bcrit+{\sqrt {bcrit^{2}-b^{2}}}$ est $<0$ (fonction décroissante de $b$ et de valeur nulle pour $b=0$), il apparait que $r_{1}$ est $<0$.

$\Rightarrow$ (3.z) n’admet pas de solution sur $[0,+\infty [$.

Photon entrant depuis l’infini

La coordonnée radiale $r$ de p est initialement décroissante ce qui signifie que $r$ n’ayant pas de minimum tend vers 0 : p suit une trajectoire vers le point $O$ centre de l’objet massif et rencontre l’objet massif, quand $r=R$ et cela quelle que soit la valeur de $R$.

$L$ défini précédemment représente pour $\varphi =\varphi _{impact}$ la latitude d’impact de p (angle avec le plan tangent à la sphère de rayon $R$ au point d’impact).

$b<b_{crit}$ entraîne une condition sur $L(\varphi _{impact})$ d’après (3.w) :

$\tan(L(\varphi _{impact}))\geq {\sqrt {{\frac {Rs}{R}}-1+{\frac {R^{2}}{b_{crit}^{2}}}}}$

Contraction des directions angulaires

Un observateur placé à l'horizon des évènements de l'objet massif au point d’impact relève une direction apparente $\varphi _{apparent}={\frac {\pi }{2}}-L(\varphi _{impact})$ pour une direction réelle d’émission $\simeq \varphi _{impact}$ (en considérant que $R\ll$ distance d'émission du photon).

A l’horizon des évènements d’un trou noir, le facteur de contraction ${\frac {\varphi _{impact1}}{\varphi _{apparent}}}$ vaut $1$ pour $b=0$ et tend vers l’infini quand $b$ et $L_{impact}$ tendent respectivement vers $b_{crit}$ et $L_{crit}$ (le nombre de tours autour du trou noir et donc $\varphi _{impact}$ tendent vers l’infini).

Contraction des diamètres apparents des étoiles

La contraction des diamètres apparents des étoiles correspond au ratio ${\frac {\Delta L\ reel}{\Delta L\ apparent}}$ pour une latitude $L$ donnée.

L'intégration numérique donne les résultats suivants à l’horizon des évènements d’un trou noir :

$L\ reelle$	$L\ apparente$	$Facteur\ de\ contraction$	${\frac {\Delta L\ reel}{\Delta L\ apparent}}$
$90^{\circ }$	$90^{\circ }$	$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1$
$45^{\circ }$	$52,6^{\circ }$	$\simeq 1,20$	$\simeq 1,71$
$0^{\circ }$	$35,1^{\circ }$	$\simeq 1,64$	$\simeq 4,11$
$-45^{\circ }$	$27,6^{\circ }$	$\simeq 2,16$	$\simeq 9,18$
$-90^{\circ }$	$24,2^{\circ }$	$\simeq 2,73$	$\simeq 19,41$
NA	$\arctan {\Bigl (}{\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}{\Bigr )}\simeq 21,1^{\circ }$	$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \infty$

Photon sortant depuis l'horizon des évènements de l’objet massif vers l’extérieur

La coordonnée radiale de p est initialement croissante : $r$ n’ayant pas de maximum, p va s’échapper de l’objet massif et suivre une trajectoire vers l’infini, et cela quelle que soit la valeur de $R$.

La condition pour qu’un photon émis depuis l’horizon des évènements d’un trou noir ($r=Rs$) puisse s’en échapper est donc $b<b_{crit}$.

B.3. Tableau de synthèse des différentes trajectoires possibles d’un photon émis à une coordonnée radiale rem

Coordonnée radiale d’émission	Paramètre d'impact	Signe de ${d\varphi \over dt}$	Extremum de r	Description
$]r_{crit},+\infty [$	$]b_{crit},b_{max}]$	$+$	périastre $r_{min}=r_{per}$	photon entrant depuis $r_{em}$ puis sortant vers l'$\infty$
	$b_{crit}$	$+$	$r_{min}=r_{crit}$	photon entrant depuis $r_{em}$ puis rejoignant l’orbite $r=r_{crit}$
$[R_{s},r_{crit}[$	$[b_{crit},b_{max}]$	$+$	NA	photon entrant depuis $r_{em}$ dans l'horizon des évènements
$[R_{s},+\infty [$	$[0,b_{crit}[$
$[R_{s},r_{crit}[$	$]b_{crit},b_{max}]$	$-$	apoastre $r_{max}=r_{apo}$	photon sortant depuis $r_{em}$ puis entrant dans l’horizon des évènements
	$b_{crit}$	$-$	$r_{min}=r_{crit}$	photon sortant depuis $r_{em}$ puis rejoignant l’orbite $r=r_{crit}$
$]r_{crit},+\infty [$	$[b_{crit},b_{max}]$	$-$	NA	photon sortant depuis $r_{em}$ vers l'$\infty$
$[R_{s},+\infty [$	$[0,b_{crit}[$
$r_{crit}$	$b_{crit}$	$+$ ou $-$	$r=r_{crit}$	photon sur l’orbite instable $r=r_{crit}$
	$]b_{crit},+\infty [$	NA	NA	cas impossible car $b>b_{max}={\frac {r_{crit}}{\sqrt {1-{\frac {Rs}{r_{crit}}}}}}=b_{crit}$

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