Utilisateur:Edouard-lopez/algebre

logique

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propostion : p ⇒ q (⇔ ¬p ∨ q)
contaposée : ¬p ⇒ ¬q
negation : p ∧ ¬q
réciproque : q ⇒ p

Espace vectoriel

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Définition

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Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) ou, plus précisément, ( , + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps ) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :

  • ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :
  • la loi « + » est associative :
  • la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre :
. Cet élément est unique, on le note .
  • la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé :
. Ce vecteur est unique pour un spécifié. On le note .
  • la loi « + » est commutative :


  • la loi externe « • » est une application (on note aussi ).
Elle permet à d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :
  • l'élément unité « 1 » du corps est neutre à gauche pour la loi « • » :
  • la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E :
  • la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps  :
  • la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :