Brouillon.
Cette page est un brouillon de Ellande (Discussion) et ne fait pas partie de l'espace encyclopédique.
En théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell quantifie la répartition des vitesses entre les différentes particules dans un gaz à l'équilibre thermodynamique global à la température uniforme, cette répartition étant exponentielle.
Méthode 1 : densités de probabilité
modifier
Etablissement de l'équation différentielle
modifier
La vitesse d'une particule prise au hasard et
.
La probabilité que la composante
selon
de la vitesse d'une particule soit comprise entre
et
est liée à la densité de probabilité de
:
.
Les variables aléatoires
,
et
sont indépendantes et on peut alors écrire la probabilité, en ajoutant des conditions similaires sur
et
, la densité de probabilité
,
,
,
d'où l'expression de la densité de probabilité pour une vitesse vectorielle, c'est à dire pour une norme donnée et une direction donnée :
.
En n'oubliant pas que
et en dérivant selon
, on obtient d'une part :
,
et d'autre part :
.
En identifiant les deux relations qui précèdent,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P\left({\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} v^{2}}}={\frac {f(v_{x})}{\mathrm {d} v_{x}^{2}}}{\frac {P({\vec {v}})}{f(v_{x})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156adff98d94154ceee8982a7552b2968a7a8fb0)
et puisque les mêmes relations peuvent être obtenues en dérivant selon n’importe quelle composante :
.
Expression de ![{\displaystyle f(v_{x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8c1cf71b302d906034e7fdb3a92727caa77f97)
modifier
On obtient une équation différentielle du premier ordre sans second membre, ce qui constitue un cas très simple :
.
La solution est de la forme
.
En intégrant sur l'ensemble des
possibles :
.
La vitesse quadratique moyenne s'exprime :
.
![{\displaystyle \langle v_{x}^{2}\rangle ={\sqrt {\frac {B}{\pi }}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{B^{3}}}}={\frac {1}{2B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1b32f3006f617989830c417b0715e433f1e856)
Or si on considère que l'énergie thermique n'est due qu'à l'énergie cinétique sur un seul degré de liberté (selon
ici) :
.
On en déduit l’expression :
et
.
Alors
.
Expression de
et de ![{\displaystyle P_{v}(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b594e757ea5495010bbff37726773478eb36e103)
modifier
La densité de probabilité pour une vitesse donnée dans une direction donnée est donc :
.
Si on s'intéresse à la densité de probabilité pour une vitesse de norme de donnée quelle que soit la direction, il faut intégrer sur l'ensemble des direction et l'utilisation des coordonnées sphériques s'impose.
.
![{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,v^{2}\mathrm {d} v\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a6fe9eafc00991771d3de1ae650d6d4de7219d)
![{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(v\right)=P({\vec {v}})\,4\pi \,v^{2}\mathrm {d} v=P_{v}(v)\,\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dce7ac8736850d98735b6b9e0422a4991dbb60ac)
La densité de probabilité pour une vitesse de norme donnée est donc :
.
Méthode 2 : utilisation de la physique statistique
modifier
En physique statistique, on est capable de calculer la loi de distribution de Maxwell-Boltzmann à l'aide de la densité de probabilité canonique que l'on note
où
est l'impulsion et
est la position de la particule selon le degré de liberté
. L'énergie totale de la particule est donnée par l'hamiltonien purement cinétique, et en considérant trois degrés de liberté :
,
où
est la quantité de mouvement de la particule. Il s'agit des notations usuelles de la mécanique hamiltonienne. La probabilité d'un état est fonction de son énergie qui est fonction des positions et impulsions des particules
. Un état du système est donc entièrement défini par l'ensemble des valeurs instantannées
.
La densité de probabilité d'un état dans l'ensemble canonique est donnée par :
,
en posant
.
est la fonction de partition canonique, ou fonction de renormalisation :
,
.
La densité de probabilité s'exprime alors :
,
Nous voulons la densité de probabilité du module de la vitesse. Il est alors commode d'exprimer l'énergie en fonction des modules des impulsions
et d'utiliser les coordonnées sphériques. La probabilité pour que la quantité de mouvement soit égale à
s'exprime :
.
![{\displaystyle \mathrm {d} \mathbb {P} \left(p\right)=P({\vec {p}})\,4\pi \,p^{2}\mathrm {d} p={\frac {4\pi \,p^{2}}{\left(2\pi mk_{B}T\right)^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {p^{2}}{2mk_{B}T}}}\mathrm {d} p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb740465d8a5caf0787d5624bb2ca467025c315)
Pour obtenir
(densité de probabilité pour le module de la vitesse), il faut procéder au changement de variable
. Comme le théorème de Liouville impose la conservation du volume de densité de probabilité dans l'espace des phases, on note que :
,
..
Ainsi, on trouve finalement :
,
la distribution de Maxwell-Boltzmann.
- La distribution de Maxwell peut se déduire des lois générales de la physique statistique d'équilibre, en appliquant la statistique de Maxwell-Boltzmann, le niveau d'énergie cinétique
ayant une densité de probabilité
proportionnelle à
.
On pose
et
qui permet d'écrire
En posant
En posant