Utilisateur:Erialclaire/Brouillon3

Section à introduire après la section sur sur les écoulements incompressibles

Expression pour les fluides à faible nombre de Mach

Le nombre de Mach $Ma$ exprime le rapport entre la vitesse du fluide et la vitesse du son. Sous hypothèse que ce nombre soit très petit, l'on obtient le système de Navier-Stokes à faible nombre de Mach grâce à une étude asymptotique des équations du système. En insérant dans les équations les développements asymptotiques des différentes variables en fonction du nombre de Mach, on remarque que la pression se scinde en deux termes :

${\textstyle p=p_{0}+p_{1}}$, où $p_{0}$ est constante en espace et est appelée pression thermodynamique, et où $p_{1}$ est de l'ordre de $Ma^{2}$ et est appelée pression dynamique.

Dans le cas particulier d'un gaz calorifiquement parfait, on obtient le système suivant :

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {v}})=0$$

$$\rho \left[{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {v}}\right]=-{\vec {\nabla }}p_{1}+\mu \left[\nabla ^{2}{\vec {v}}+{\frac {1}{3}}{\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}\right)\right]+\rho {\vec {f}}$$

$$c_{P}\,\rho \left({\dfrac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}T\right)-\left({\dfrac {\partial p}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}p\right)=\tau :{\overrightarrow {\nabla }}{\vec {v}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot (\lambda {\overrightarrow {\nabla }}T)$$

$$p_{0}=\rho {\frac {R}{M}}T$$

On remarque que l'on a un système de 6 équations à 7 inconnues : $\rho$, ${\vec {v}}$, $T$,$p_{0}$ et $p_{1}$. Nous allons donc fermer le système avec une équation concernant la pression thermodynamique $p_{0}$ (qui est constante en espace).

Détermination de la pression thermodynamique

Dans un système fermé, la masse totale reste constante au cours du temps. En intégrant sur le volume $\Omega$ du système, cela donne :

$$\int _{\Omega }^{}\rho (x,t)\,dx=\int _{\Omega }^{}\rho (x,t=0)\,dx$$

En utilisant l'équation d'état, la pression thermodynamique peut-être calculée par :

$$p_{0}(t)=p_{0}(t=0){\dfrac {\int _{\Omega }^{}{\dfrac {1}{T(x,t=0)}}\,dx}{\int _{\Omega }^{}{\dfrac {1}{T(x,t)}}\,dx}}$$