Utilisateur:Flo13nrv/Théorèmes de Ratner

En mathématiques, les théorèmes de Ratner sont un ensemble de théorèmes en théorie ergodique concernant les flots unipotents sur les espaces homogènes démontrés par Marina Ratner au début des années 90. Ces théorèmes sont issus des précédent travaux de Ratner sur les flots horocycliques. L'étude de la dynamique des flots unipotents a joué un rôle majeur dans la preuve de la conjecture d'Oppenheim par Gregori Margulis. Les théorèmes de Ratner ont servi de guide pour les progrès de la compréhension de la dynamique des flots unipotents. Ces théorèmes ont été généralisés en des résultats plus précis et qui s'appliquent dans le contexte général des groupes algébrique semisimple sur un corps local.

Brève description

Le théorème d'adhérences des orbites de Ratner affirme que l'adhérence d'une orbite d'un flot unipotent dans le quotient d'un groupe de Lie par un réseau est une sous-variété. Le théorème d'équidistribution de Ratner précise que cette orbite s'équidistribue dans son adhérence. Le théoreme de classification des mesures de Ratner est l'énoncé, à priori plus faible, que les mesures des probabilités ergodiques invariants sont homogènes (ou algébriques): c'est la première étape pour prouver ensuite le théorème d'équidistribution plus général.

L'énoncé formel du théorème d'adhérences des orbites est le suivant. Soit $G$ un groupe de Lie, ${\mathit {\Gamma }}$ un réseau de $G$ et $u^{t}$ un sous-groupe à un paramètre de $G$ formé d'éléments unipotents, avec le flot associé $\phi _{t}$ sur ${\mathit {\Gamma }}\setminus G$. Alors l'adhérence de chaque orbite $\left\{xu^{t}\right\}$ de $\phi _{t}$ est homogène. Cela signifie qu'il existe un sous-groupe fermé, connexe $S$ de $G$ tel que l'image de l'orbite $\,xS\,$(pour l'action de $S$ par translation à droite sur $G$) par la projection canonique sur $\Gamma \backslash G$ est fermé, a une mesure fini pour la mesure $S$-invariante et contient l'adhérence de l'orbite de $x$ pour le flot $\phi _{t}$ comme un sous-ensemble dense.

Exemple: $SL_{2}(\mathbb {R} )$

Le cas le plus simple pour lequel le théorème s'applique est $G=SL_{2}(\mathbb {R} )$. Dans ce cas il prend la forme explicite suivante; soit $\Gamma$ un réseau dans $SL_{2}(\mathbb {R} )$ et $F\subset \Gamma \backslash G$ un sous-ensemble invariant par le flot $\Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})$, où $u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}$. Alors soit il existe $x\in \Gamma \backslash G$ tel que $F=xU$ (où $U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}$), soit $F=\Gamma \backslash G$.

Du point de vue géométrique, $\Gamma$ est un groupe fuchsien de covolume fini, donc le quotient $M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ du plan hyperbolique par $\Gamma$ est une orbifold hyperbolique de volume fini. Le théorème précédent implique que chaque horocycle de $\mathbb {H} ^{2}$ a son image dans $M$ qui est soit une courbe fermé (un horocycle autour d'un cusp dans $M$) ou est dense dans $M$.

Références

Articles originaux

• Ratner, « Strict measure rigidity for unipotent subgroups of solvable groups », Invent. Math., vol. 101, n^o 2,‎ 1990, p. 449–482 (DOI 10.1007/BF01231511, MR 1062971)
• Ratner, « On measure rigidity of unipotent subgroups of semisimple groups », Acta Math., vol. 165, n^o 1,‎ 1990, p. 229–309 (DOI 10.1007/BF02391906, MR 1075042)
• Ratner, « On Raghunathan’s measure conjecture », Ann. of Math., vol. 134, n^o 3,‎ 1991, p. 545–607 (DOI 10.2307/2944357, MR 1135878)
• Ratner, « Raghunathan’s topological conjecture and distributions of unipotent flows », Duke Math. J., vol. 63, n^o 1,‎ 1991, p. 235–280 (DOI 10.1215/S0012-7094-91-06311-8, MR 1106945)
• Ratner, « Raghunathan's conjectures for p-adic Lie groups », International Mathematics Research Notices, n^o 5,‎ 1993, p. 141–146 (DOI 10.1155/S1073792893000145, MR 1219864)
• Ratner, « Raghunathan's conjectures for cartesian products of real and p-adic Lie groups », Duke Math. J., vol. 77, n^o 2,‎ 1995, p. 275–382 (DOI 10.1215/S0012-7094-95-07710-2, MR 1321062)
• Margulis et Tomanov, « Invariant measures for actions of unipotent groups over local fields on homogeneous spaces », Invent. Math., vol. 116, n^o 1,‎ 1994, p. 347–392 (DOI 10.1007/BF01231565, MR 1253197)

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