Utilisateur:Freenstruction/Brouillon9

En économétrie, un modèle à effets fixes est un modèle dans lequel les paramètres sont fixés ou ne sont pas des valeurs aléatoires. Ce modèle diffère en cela des modèles à effets aléatoires et des modèles mixtes, dans lesquels une partie ou la totalité des paramètres sont considérés comme des variables aléatoires.

Ce type de modèle est utilisé pour faire des régressions économétriques sur des données de panel, c'est-à-dire des données sur plusieurs individus et sur plusieurs périodes temporelles. Il sert lorsque l'on cherche à analyser l'impact des variables qui varient dans le temps, car on ne prend pas en compte les effets fixes dans le temps (d'où le nom du modèle).

Contexte d'utilisation

En économétrie, on peut écrire sous forme d'équation un modèle linéaire des données de panel (équation ici purement théorique) :

$y_{it}=\sum _{k=1}^{K}{\beta _{kit}x_{kit}}+\eta _{it}$

avec $y_{it}$ la variable expliquée, $\beta _{kit}$ les coefficients à estimer, $x_{kit}$ les variables explicatives et $\eta _{it}$ le terme d'erreurs. On indique les individus avec l'indice i (allant de 1 à $N$) et les périodes temporelles avec l'indice t (allant de 1 à $T$).

Il est important de noter que $\eta _{it}$ regroupe en fait plusieurs termes d'erreurs. Il comprend en effet les caractéristiques individuelles, les caractéristiques temporelles et une erreur idiosyncratique (propre à chaque observation). On peut alors exprimer $\eta _{it}$ sous la forme :

$\eta _{it}=\nu _{i}+\theta _{t}+\varepsilon _{it}$

avec $\nu _{i}$ la composante individuelle, $\theta _{t}$ la composante temporelle et $\varepsilon _{it}$ le terme d'erreur idiosyncratique.

On utilisera un modèle de panel dit "classique", c'est-à-dire un modèle dans lequel la dimension individuelle est bien plus grande que la dimension temporelle. On pose en effet que $N\rightarrow +\infty$ et que $T$ est fini.

Techniques d'utilisation

Ce modèle tire son nom du fait que les caractéristiques individuelles ($\nu _{i}$) sont fixes. On peut alors réécrire l'équation du modèle (on fait commencer la somme à $k=2$ afin de rajouter une constante $\beta _{1}$) :

$y_{it}=\beta _{1}+\nu _{i}+\sum _{k=2}^{K}{\beta _{k}x_{kit}}+\varepsilon _{it}$

Pour étudier l'estimateur à effets fixes plus en détail, nous allons ajouter quelques hypothèses :

• $E(\varepsilon _{it})=0$ et $E(\varepsilon _{it}^{2})=\sigma _{\varepsilon }^{2}$ (hypothèse d'homoscédasticité)
• $E(\varepsilon _{it}\varepsilon _{is})=0$ pour tout $t\neq s$ (absence d'autocorrélation)
• $E(\varepsilon _{it}\varepsilon _{jt})=0$ pour tout $i\neq j$ (absence de corrélation contemporaine entre les individus)
• $E(\varepsilon _{it}x_{it})=0$ (hypothèse d'orthogonalité)

L'estimation des paramètres peut être réalisée par deux approches équivalentes. On peut en effet utiliser les variables muettes ou la variabilité intra-individuelle (approche du théorème de Frisch-Waugh).

Utilisation des variables muettes

Il s'agit d'introduire une variable muette $m_{i}$ pour chaque individu, muette qui vaut 1 pour l'individu $j$ et 0 sinon. On peut alors écrire l'équation sous la forme :

$y_{it}=\beta _{1}+\sum _{j=1}^{N}{\gamma _{j}m_{j}}+\sum _{k=2}^{K}{\beta _{k}x_{kit}}+\varepsilon _{it}$

Pour éviter la multicolinéarité, on peut pas introduire à la fois une constante et $N$ variables muettes. Il existe alors trois solutions. La première consiste à laisser les $N$ variables et la constante mais à s'assurer que $\sum _{j=1}^{N}{\gamma _{j}}=0$ (solution adoptée dans l'équation ci-dessus). La deuxième est d'introduire $N$ variables muettes mais d'enlever la constante. La troisième est de laisser la constante mais de n'introduire que $N-1$ variables muettes (les deux dernières solutions n'ont pas contrainte sur la valeur des $\gamma _{i}$).

Ce modèle est ensuite estimé par les moindres carrés ordinaires (MCO). Il est appelé Méthode des Variables Muettes (MVM), ou Least Squares Dummy Variables (LSDV).

Utilisation de la variabilité intra-individuelle

Cette approche par le théorème de Frisch-Waugh vise à estimer l'écart entre les variables $y_{it}$ et $x_{it}$ et leur moyenne individuelle par les MCO. Elle se fait en deux étapes.

Tout d'abord, il faut trouver les écarts aux moyennes individuelles des variables, c'est-à-dire que l'on calcule $y_{it}-{\bar {y}}_{i}$ et $x_{it}-{\bar {x}}_{i}$. En faisant cette différence, on étudie donc les variations de comportement des individus.

On estime ensuite par les MCO l'équation suivante (la constante disparaît lors de la transformation) :

$y_{it}-{\bar {y}}_{i}=\sum _{k=2}^{K}{\beta _{k}(x_{kit}-{\bar {x}}_{ki})}+(\varepsilon _{it}-{\bar {\varepsilon }}_{i})$

Ce modèle est principalement connu sous le nom de modèle within. Sa relative simplicité d'utilisation est compensée par certaines limites.

Tout d'abord, on ne peut pas identifier l'impact des variables qui sont constantes dans le temps (ce qui est normal puisqu'on doit les éliminer pour déterminer les effets des variables qui varient dans le temps).

De plus, ce modèle ne permet pas d'évaluer les effets fixes pour les individus hors de l'échantillon. Par exemple, si les individus sont des pays (ce qui est possible, bien que les données de panel soient surtout utilisées au niveau microéconomique), on ne peut pas se servir des résultats pour faire des prévisions d'impact de politiques dans les pays hors de cet échantillon.

Enfin, l'estimateur within élimine complètement la variabilité inter-individuelle alors qu'il peut être utile d'en garder une partie, d'autant plus que les MCO sur tout l'échantillon conserve l'ensemble de la variabilité.

Programmation dans des logiciels de statistiques

Dans R

Le package plm permet d'utiliser l'estimateur within à l'aide de la commande plm .

Dans Stata

Dans Stata, on peut appliquer l'estimateur within avec la commande xtreg et l'option fe . Une ligne de commande prend alors la forme :

xtreg var_expliquée var1 var2 var3, fe

Si l'on veut utiliser l'estimateur LSDV, on applique alors les commandes :

areg var_expliquée var1 var2 var3 .

Il est cependant préférable d'utiliser l'estimateur within. De plus, on peut également ajouter des options (notamment de robustesse) avec la commande vce() .