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Le schéma de Lax–Friedrichs, d'après Peter Lax et Kurt Friedrichs, est défini en analyse numérique comme une technique de résolution numérique des équations aux dérivées partielles de type hyperbolique, basée sur la méthode des différences finies. Cette technique repose sur l'utilisation de différence finie décentrée en temps et centrée en espace. On peut considérer le schéma de Lax–Friedrichs comme une alternative au schéma de Godunov, où l'on évite de résoudre un problème de Riemann à chaque interface de la cellule, au prix d'ajouter de la viscosité artificielle.
Illustration sur un problème linéaire
modifierConsidérons l'équation d'advection linéaire en dimension 1 d'espace et de temps, dont une solution doit vérifier:
sur le domaine
avec la condition initiale
et les conditions de bords
La solution exacte de l'équation d'advection au temp est
La méthode des différences finies consiste à chercher une solution discrète définie sur les points de coordonnées
avec
On recherche alors la solution discrète
Le schéma de Lax–Friedrichs appliqué à l'équation d'advection:
On obtient alors de manière explicite l'inconnue
ce qui consistue ainsi le schéma de Lax-Friedrichs, complété par la condition initiale et les conditions de bord:
Extensions aux problèmes non-linéaires
modifierUn système hyperbolique de lois de conservation à une dimension d'espace est défini par
où est appelé fonction de flux.
Dans le cas particulier où , on retrouve un problème linéaire scalaire. Dans le cas général, est un vecteur ayant composantes. La généralisation du schéma de Lax-Friedrichs aux systèmes non-linéaires prend la forme[1]
Ce schéma conservatif est d'ordre 1 en espace et en temps, et donc assez diffusif. On peut en revanche l'utiliser pour construire des schémas d'ordre supérieur pour résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperbolique, de la même façon que la méthode d'Euler sert à construire les méthodes de type Runge-Kutta plus précises pour la résolution des équations différentielles ordinaires.
Ce schéma peut être écrit sous sa forme conservative:
où
En l'absence des termes et dans le flux discret, , on retrouve le schéma explicite centré instable [2].
Stabilité et précision numérique
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Advection_equation_solution_comparison.png/220px-Advection_equation_solution_comparison.png)
Le schéma de Lax-Friedrichs est explicite et d' ordre 1 en espace et en temps. Pour cette raison, il n'est pas beaucoup utilisé en pratique mais il sert d'exemple pour illustrer l'étude de la stabilité de Von Neumann d'un schéma numérique.
Le schéma de Lax-Friedrichs est stable pourvu que la condition suivante soit satisfaite:
En réarrangeant les termes de l'équation (3) on obtient [3]:
Sous cette forme, le schéma ressemble à un schéma de discrétisation de l'équation d'avection-diffusion: avec , et illustre ainsi le caractère diffusif du schéma et le concept de viscosité artificielle.Vetterling
Le caractère diffusif et dispersif de plusieurs schéma numériques (dont Lax-Friedrich) est illustré sur la figure de droite.
Références
modifier- LeVeque, Randy J. Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser Verlag, 1992, p. 125.
- B. Després et François Dubois, "Systèmes hyperboliques de lois de conservation, Application à la dynamique des gaz", Les Éditions de l'école Polytechnique, ISBN-10: 2730212531, chapitre 2
- R. J. LeVeque, "Finite difference methods for Ordinary and partial differential equations", SIAM, ISBN-10 0898716292, section 10.2.3
- (en) Press, Teukolsky, Vetterling et Flannery., Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-88068-8), « Section 10.1.2. Lax Method »