Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST/PEP

Dérivation des principes de la mécanique quantique

Lorsque Pauli a proposé le principe d'exclusion (1925), les principes fondamentaux de la mécanique quantique n'étaient pas encore bien établis. En fait, il apparait que le principe d'exclusion n'est pas un principe fondamental et peut se dériver des principes fondamentaux de la mécanique quantique.

Voici une dérivation du principe d'exclusion de Pauli :

Soit un hamiltonien total, représentant l'état de 2 particules (l'extension à N particules est immédiate) : ${\hat {H}}(p_{1},p_{2})$.

Si $p_{1}$ et $p_{2}$ sont deux particules indiscernables, alors ${\hat {H}}(p_{1},p_{2})={\hat {H}}(p_{2},p_{1})$. On dit alors que le hamiltonien est invariant par permutation, et si l'on considère ${\hat {P_{12}}}$ qui est l'opérateur de permutation de la particule $p_{1}$ et $p_{2}$, alors le commutateur de ces deux opérateurs est nul : $[{\hat {H}},{\hat {P_{12}}}]=0$.

Le commuteur étant nul, il est possible de trouver une base dans laquelle ces deux opérateurs sont diagonaux : les solutions de ${\hat {H}}$ sont donc les vecteurs propres de ${\hat {P_{12}}}$.

Comme ${\hat {P_{12}}}^{2}=1$, les valeurs propres de cet opérateur sont +1 ou -1. Il y a donc deux familles de solution possibles du hamiltonien total :

Les solutions symétriques : $\psi (x_{1},x_{2})=\psi (x_{2},x_{1})$ ; $x_{1}$ et $x_{2}$ étant la position des particules 1 et 2. C'est le cas pour les bosons.

Les solutions antisymétriques : $\psi (x_{1},x_{2})=-\psi (x_{2},x_{1})$. C'est le cas pour les fermions et donc pour le principe d'exclusion de Pauli.

Si on décompose la fonction d'onde totale des deux particules $\psi (x_{1},x_{2})$ en intrication des états propres $\phi _{a}(x_{i})$ et $\phi _{b}(x_{i})$ de chaque particule, les solutions antisymétriques sont alors de la forme :

$\psi (x_{1},x_{2})=\phi _{a}(x_{1})\phi _{b}(x_{2})-\phi _{b}(x_{1})\phi _{a}(x_{2})$.

Si les particules 1 et 2 sont dans le même état quantique, alors $\phi _{a}=\phi _{b}$, et donc $\psi (x_{1},x_{2})$ tend vers 0 quand $x_{1}$ tends vers $x_{2}$. La probabilité de trouver deux fermions identiques dans le même état quantique à la même position est nulle.

Ceci est le principe d'exclusion de Pauli : deux fermions identiques ne peuvent être dans le même état quantique à la même position.