Utilisateur:Jeandavid54/Mathématique de l'impossible
Article en cours d'écriture
Jean David ©2012 ;-)
En mathématiques, la division par zéro est interdite sinon impossible.
Car diviser un nombre par zéro n'a pas de sens réel et se bute à l'opération inverse, la multiplication par zéro. Par exemple, a/0 n'existe pas car aucun nombre multiplié par 0 ne donnerait en retour a. Le zéro est dit absorbant pour la multiplication donc annule la possibilité.
Et pourtant, ce qui est étonnant c'est que, 1/∞=0 étant vrai, l'inverse des 2 membres devrait permettre de donner : ∞=1/0. Et bien, non !
Mais si on outrepasse cette interdiction, où cela nous amène-t-il ? A l'instar de la définition de i = √ -1 qui a permis de définir l'ensemble des nombres complexes, commençons regarder où cela peut nous mener cette division impossible : les zNombres.
Définition
modifierLes zNombres sont des nombres composés par la division par zéro.
n'existe pas mais essayons de créer ce nombre "tabou".
Soit = zéro_barré avec x, un nombre quelconque.
On a par opération inverse, zéro_barré * 0 = x, x est alors appelé la zValeur de l'opération. Ici, la zValeur prend toutes les valeurs possibles pour zéro_barré. Comme x est quelconque, zéro_barré = ensemble de tous les nombres = {N,Z,Q,R,C}. Zéro_barré peut être considéré comme un quasi_ensemble.
(NB : à l'instar du qBit en calcul quantique, on peut dire que zéro_barré est un zNombre non décorrélé.)
- Symboles proposés
- zéro_barré = Ø
- pour une valeur a donnée, Øa = ou encore un "a barré"
a: par exemple, a=1; 1/0 = Ø1 =1.
Le zNombre Øa est dit "décorrélé" par sa zValeur a.
Propriétés
modifierCe zéro_barré a des propriétés suivantes :
Multiplication avec zéro
modifierzéro_barré * 0 ≠ 0 car zéro n'est pas absorbant pour les zNombres.
- Ø * 0 ≠ 0
- Ø0 = 0/0 =
0≠ 0
- Ø0*0 = 0 car Ø0 a la zValeur = 0.
Les zNombres Øa
modifier- Øa * 0 =
a* 0 = a (remarque : 0 perd sa propriété de l'élément absorbant dans la multiplication et acquiert ici la propriété d'élément régénérant)
- ≠ (car si a ≠ b, a*zéro_barré ≠ b*zéro_barré)
- Øa ≠ Øb
Addition/Soustraction
modifier- + =
Øa + Øb = Ø(a+b)
- avec un réel : a + Øb = Øa * 0 + ØB
Multiplication
modifier- a*Øb = a*(b/0) = (a*b)/0 = Øa*b
- a*Øa = a*(a/0) = a2/0 = Øa2
- Le produit d'un zNombre avec zéro donne un réel :
Ø(a+b)* 0 = a+b
- Le produit de 2 zNombres est un zNombre :
Øa * Øb = Ø(ab)
Division (à réfléchir car 2 possibilités)
modifier- par zéro, Øa / 0 = Øa. Zéro est neutre pour la division.
La précédence de la division : Øa/a = (a/0)/a = (a/a)/0 = 1/0 = Ø1 est plus cohérente avec le produit : en posant b=1/a, Øa * Ø(1/a) = Ø(a/a) = Ø1 que la précédence de la multiplication avec un zéro absorbant : Øa/a = a/(0*a) = a/0 = Øa.
- La division entre 2 zNombres est un réel :
Øa / Øb = (a/0)/(b/0) = (a/0)* (0/b) = ((a/0) * 0) / b = a/b
Puissance
modifier- Le zéro_barré ne s'élève pas en puissance : (zéro_barré)n = zéro_barré
- Øn = Ø
- (Øa)n = = = = Øan
Inverse
modifier- L'inverse des zNombres est zéro. En effet, 1/Øa = 1/(a/0) = 0/a = 0. Or dans une division entre zNombres, on ne néglige pas le dénominateur de 0/a (à voir).
Relation
modifierLe nombre Infini
modifierL'infini désigne un quasi-nombre alors que zéro_barré désigne un quasi_ensemble, un zNombre.
- Ø ≠ ∞
Le zNombre infini s'écrit : ∞ / 0 = Ø∞
Avec les réels
modifier- Un zNombre égal à tout réel est Ø0.
car si Øa = b, on a en multipliant par 0 les 2 membres : a = 0 donc Øa = Ø0 = b
- L'interaction multiplicative avec le réel 0 transforme un zNombre en un réel. (à comparer avec i des nombres complexes)
Conclusion
modifierOn voit qu'il est possible de définir une nouvelle mathématique "zérotique" à partir du zéro_barré.
Références
modifierCréation
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