Utilisateur:Edouard-lopez/algebre

logique

propostion : p ⇒ q (⇔ ¬p ∨ q)

contaposée : ¬p ⇒ ¬q

negation : p ∧ ¬q

réciproque : q ⇒ p

Définition

Un espace vectoriel E sur un corps (commutatif) $\mathbb {K}$ ou, plus précisément, ( $\mathbb {K}$ , + , • ) , est un ensemble muni de deux lois, l'une interne notée « + » (attention à ne pas la confondre avec la première loi du corps $\mathbb {K}$) , et l'autre externe notée « • », qui vérifient les propriétés suivantes, appelées aussi axiomes :

• ( E , + ) est un groupe commutatif, c'est-à-dire :

• la loi « + » est associative :

$\forall \,{\vec {u}}\in E,\ \forall \,{\vec {v}}\in E,\ \forall \,{\vec {w}}\in E,\ ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})\,$

• la loi « + » est unifère, elle a un élément neutre :

$\exists \,{\vec {e}}\in E,\ \forall \,{\vec {u}}\in E,\ {\vec {e}}+{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {e}}={\vec {u}}\,$. Cet élément ${\vec {e}}$ est unique, on le note ${\vec {0}}$.

• la loi « + » est symétrisable, tout élément de E a un opposé :

$\forall \,{\vec {u}}\in E,\ \exists \,{\vec {v}}\in E\,/\,\ {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}={\vec {0}}\,$. Ce vecteur ${\vec {v}}$ est unique pour un ${\vec {u}}$ spécifié. On le note $(-{\vec {u}})$.

• la loi « + » est commutative :

$\forall \,{\vec {u}}\in E,\ \forall \,{\vec {v}}\in E,\ {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}\,$

• la loi externe « • » est une application $\mathbb {K} \times E\to E,\,(\lambda ,\,{\vec {u}})\mapsto \lambda \cdot {\vec {u}}$ (on note aussi $\lambda \,{\vec {u}}$).
  

Elle permet à $\mathbb {K}$ d'opérer sur E, selon les quatre axiomes suivants :

• l'élément unité « 1 » du corps $\mathbb {K}$ est neutre à gauche pour la loi « • » :

$\forall \,{\vec {u}}\in E,\ 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}\,$

• la loi « • » est distributive à gauche par rapport à l'addition de E :

$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,{\vec {u}}\in E,\ \forall \,{\vec {v}}\in E,\ \lambda \cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})=(\lambda \cdot {\vec {u}})+(\lambda \cdot {\vec {v}})\,$

• la loi « • » est exodistributive à droite par rapport à l'addition du corps $\mathbb {K}$ :

$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,\mu \in \mathbb {K} ,\ \forall \,{\vec {u}}\in E,\ (\lambda +\mu )\cdot {\vec {u}}=(\lambda \cdot {\vec {u}})+(\mu \cdot {\vec {u}})\,$

• la loi « • » est exoassociative par rapport à la multiplication du corps $\mathbb {K}$ ( elle l'« importe » dans l'espace vectoriel) :

$\forall \,\lambda \in \mathbb {K} ,\ \forall \,\mu \in \mathbb {K} ,\ \forall \,{\vec {u}}\in E,\ (\lambda \times \mu )\cdot {\vec {u}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {u}})\,$