Utilisateur:Madiot/DL15
On note pour tout entier naturel n et pour tout réel x :
1) Montrer que .
2) Calculer , , .
3) Continuité
a) Justifier que pour tout (a,b) dans R^2 |cos a - cos b | <= | a - b |
b) En déduire que Jn est 1-lipschitzienne. Conclure.
4) Limite en 0
a) Soit n dans N. Prouver que
lim Jn(x) (quand x -> 0) =
Cette limite sera notée Kn
b) déterminer K0, K1, K2
c) Montrer que pour tout n dans N étoile, (n+1)Kn = 2n K(n-1) (attention là, le "2n" c'est "2 indice n", mais c'est peut-être 2^n)
d) Donner une expression simple de Kn en fonction de n en utilisant des factorielles et des puissances de 2.