Cette sous-page répertorie certaines propriétés que j'ai découvertes moi-même (même si déjà publiques sur Internet).
Pyramide des carrés jusqu'à la ligne 6 La pyramide des carrés est une pyramide dans laquelle on retrouve le carré de tous les entiers naturels .
Ci-contre, la pyramide des carrés jusqu'à la ligne 6 ("case" 36).
∀
(
a
,
b
)
∈
R
2
,
a
×
b
=
(
a
+
b
2
)
2
−
(
a
−
b
2
)
2
{\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\qquad a\times b=\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}
[ Démonstration 1]
Autrement dit, la multiplication de 2 nombres est égale à leur moyenne au carré auquel on retranche l'écart à la moyenne au carré.
Cette propriété permet, par exemple, de simplifier le calcul mental d'une multiplication[ a]
Exemple :
19
×
21
{\displaystyle 19\times 21}
On calcule leur moyenne. Ici, elle vaut 20 puis on l'élève au carré :
20
2
=
400
{\displaystyle 20^{2}=400}
On calcule ensuite l'écart à la moyenne. Ici, il vaut 1 (
20
−
19
{\displaystyle 20-19}
21
−
20
{\displaystyle 21-20}
puis on l'élève au carré :
1
2
=
1
{\displaystyle 1^{2}=1}
[ Maths 1] On réalise enfin la soustraction des deux résultats :
400
−
1
=
399
{\displaystyle 400-1=399}
On en conclut que
19
×
21
=
399
{\displaystyle 19\times 21=399}
Autre exemple :
29
,
4
×
30
,
6
{\displaystyle 29,4\times 30,6}
On calcule leur moyenne. Ici, elle vaut 30 puis on l'élève au carré :
30
2
=
900
{\displaystyle 30^{2}=900}
On calcule ensuite l'écart à la moyenne. Ici, il vaut 0,6 (
30
−
29
,
4
{\displaystyle 30-29,4}
30
,
6
−
30
{\displaystyle 30,6-30}
puis on l'élève au carré :
0
,
6
2
=
0
,
36
{\displaystyle 0,6^{2}=0,36}
[ Maths 1] On réalise enfin la soustraction des deux résultats :
900
−
0
,
36
=
899
,
64
{\displaystyle 900-0,36=899,64}
On en conclut que
29
,
4
×
30
,
6
=
899
,
64
{\displaystyle 29,4\times 30,6=899,64}
∀
x
∈
R
,
y
∈
R
∗
,
x
2
>
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} *,\quad x^{2}>(x-y)(x+y)}
x
2
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
+
y
2
{\displaystyle x^{2}=(x-y)(x+y)+y^{2}}
[ Démonstration 2] Même sans savoir le résultat des opérations, on peut déduire que
63
2
>
62
×
64
{\displaystyle 63^{2}>62\times 64}
1234
2
=
1233
×
1235
+
1
{\displaystyle 1234^{2}=1233\times 1235+1}
∀
x
∈
R
,
n
∈
N
,
n
⩽
x
,
x
2
>
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
>
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
>
(
x
−
3
)
(
x
+
3
)
>
.
.
.
>
(
x
−
n
)
(
x
+
n
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} ,n\leqslant x,\quad x^{2}>(x-1)(x+1)>(x-2)(x+2)>(x-3)(x+3)>...>(x-n)(x+n)}
[ Démonstration 3] On peut déduire que
50
2
>
49
×
51
>
48
×
52
>
47
×
53
>
.
.
.
{\displaystyle 50^{2}>49\times 51>48\times 52>47\times 53>...}
↑ Cette technique fonctionne uniquement sur des multiplications dont la moyenne des deux termes est un nombre "rond" .
Par exemple, faire 21,32 × 24,17 n'est pas plus simple avec cette technique.
↑ a et b Ici, l'écart est mis au carré. Que l'on réalise
a
−
b
{\displaystyle a-b}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
∀
x
∈
R
,
x
2
=
(
−
x
)
2
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,x^{2}=(-x)^{2}}
↑
(
a
+
b
2
)
2
−
(
a
−
b
2
)
2
=
(
a
+
b
)
2
2
2
−
(
a
−
b
)
2
2
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
4
−
a
2
−
2
a
b
+
b
2
4
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
−
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
4
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
−
a
2
+
2
a
b
−
b
2
4
=
4
a
b
4
=
a
b
{\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}={\frac {(a+b)^{2}}{2^{2}}}-{\frac {(a-b)^{2}}{2^{2}}}={\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}-{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}={\frac {a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})}{4}}={\frac {a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{4}}={\frac {4ab}{4}}=ab}
↑
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
=
x
2
+
x
y
−
x
y
−
y
2
=
x
2
−
y
2
<
x
2
{\displaystyle (x-y)(x+y)=x^{2}+xy-xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}<x^{2}}
∀
y
∈
R
∗
,
y
2
>
0
{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} *,y^{2}>0}
↑
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
=
x
2
−
y
2
{\displaystyle (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}}
y
{\displaystyle y}
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
{\displaystyle (x-y)(x+y)}
