Utilisateur:Maxime.brunin/Brouillon2

autre démonstration de l'existence et unicité de $P_{C}(x)$ dans le Théorème de projection sur un convexe fermé

Existence et unicité de $P_{C}(x)$ :

Existence :

Soit $d(x,C)=\inf _{y\in C}\|y-x\|.$

Donc $\exists \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\in C^{\mathbb {N} }$ telle que $\|x_{n}-x\|{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}d.$

D'après l'identité du parallélogramme, on obtient :

${\begin{aligned}&\|x_{n}+x_{m}-2x\|^{2}+\|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-\|x_{n}+x_{m}-2x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}=2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-4\|{\frac {x_{n}+x_{m}}{2}}-x\|^{2}\\&\Rightarrow \|x_{n}-x_{m}\|^{2}\leq 2\|x_{n}-x\|^{2}+2\|x_{m}-x\|^{2}-4d^{2},\end{aligned}}$

Car ${\frac {x_{n}+x_{m}}{2}}\in C$ car $C$ est un convexe.

Par passage à la limite n et m tendant vers $+\infty$, on obtient que $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\in C^{\mathbb {N} }$ est de Cauchy et donc converge vers un point $P_{C}(x)\in C$ car ${\mathcal {H}}$ est complet et $C$ est fermé.

Unicité : On montre un résultat intermédiaire : $\forall y\in C,~<x-P_{C}(x),y-P_{C}(x)>_{\mathcal {H}}\leq 0.$ Comme C est convexe $\forall \theta \in [0,1],~\theta y+(1-\theta )P_{C}(x)\in C.$

Donc

${\begin{aligned}&\|x-P_{C}(x)\|^{2}\leq \|x-P_{C}(x)-\theta (y-P_{C}(x))\|^{2}\\&\Rightarrow \theta ^{2}\|y-P_{C}(x)\|^{2}-2\theta <x-P_{C}(x),y-P_{C}(x)>_{\mathcal {H}}\geq 0,\end{aligned}}$

Donc, en divisant par $\theta >0$, et en passant à la limite $\theta$ tendant vers 0, on obtient :

${\begin{aligned}<x-P_{C}(x),y-P_{C}(x)>_{\mathcal {H}}\leq 0.\end{aligned}}$

Soit $P_{C}(x)^{1},P_{C}(x)^{2}$ vérifiant la condition $\|x-P_{C}^{i}(x)\|=\inf _{y\in C}\|y-x\|$ pour $i=1,2$.

${\begin{aligned}&\|x-P_{C}^{1}(x)\|^{2}=\|x-P_{C}^{2}(x)\|^{2}+\|P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)\|^{2}+2<x-P_{C}^{2}(x),P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)>_{\mathcal {H}}\\&\Rightarrow \|P_{C}^{2}(x)-P_{C}^{1}(x)\|^{2}=2<x-P_{C}^{2}(x),P_{C}^{1}(x)-P_{C}^{2}(x)>_{\mathcal {H}}\leq 0,\end{aligned}}$

car $P_{C}^{1}(x)\in C$ d'après le résultat intermédiaire précédent.