Utilisateur:Mimie-Particule/Bac a sable
Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique à temps continu, continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.
Définition
modifierUn proccesus de Poisson composé est un proccesus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit où est un processus de Poisson et est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
Propriétés
modifierAccroissements
modifierComme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendantset à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.
Moments
modifierEspérance
modifierThéorème — Moment d'ordre 1- Si admet un moment d'ordre 1, alors pour tout la variable aléatoire possède un moment d'ordre 1 et
Variance
modifierThéorème — Variance- Si admet un moment d'ordre 2, alors pour tout , admet un moment d'ordre 2 et on a
Loi des Grands Nombres
modifierOn peut écrire une Loi des grands nombres pour le processus de Poisson Composé.
Théorème — Si les ont un moment d'ordre 2, alors
Fonction Caractéristique
modifierLa fonction caractéristique de détermine entièrement sa Loi de probabilité
Théorème — La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé d'intensité s'écrit
Théorème Limite Central
modifierOn peu établir un théorème de convergence pour le processus .
Théorème — Soit un processus de Poisson composé d'intensité . On suppose les centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la Convergence en loi suivante
Annexes
modifierBibliographie
modifier- D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
- J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
- Y. Caumel, 'Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, ISBN-10: 2817801628
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compound Poisson process » (voir la liste des auteurs).