Utilisateur:Ohper/Projet espace de Hardy

Les espaces de Hardy sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité $\mathbb {D}$ .

Le cas hilbertien : L'espace $H^{2}(\mathbb {D} )$

Définition

Soit $f\in Hol(\mathbb {D} )$ , on sait que $f$ admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}

pour tout

z

dans

\mathbb {D}

.

On dit alors que $f$ est dans l'espace de Hardy $H^{2}(\mathbb {D} )$ si la suite $({\hat {f}}(n))$ appartient à $\ell _{2}$ . Autrement dit on a :

H^{2}(\mathbb {D} )=\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} ):\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}<+\infty \rbrace

On définit alors la norme de $f$ par :

\vert \vert f\vert \vert _{2}:=(\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2})^{\frac {1}{2}}

Exemple

la fonction définie $z\rightarrow Log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}$ appartient à $H^{2}(\mathbb {D} )$ .

Une autre expression de la norme

Pour $f\in Hol(\mathbb {D} )$ et pour $0\leq r<1$ on définit :

M_{2}(f,r):={({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt)}^{\frac {1}{2}}

la fonction $r\longrightarrow M_{2}(f,r)$ est croissante sur $[0,1[$ .
$f\in H^{2}(\mathbb {D} )$ si et seulement si $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)<+\infty }$ et on a :

\vert \vert f\vert \vert _{2}^{2}=\lim _{r\rightarrow 1-}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}=\sup _{0\leq r<1}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}

Démonstration

Posons $z=re^{it}$ où $r\in [0,1[$ et $t\in [-\pi ,\pi ]$ . On a :

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(re^{it})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}e^{int}

Alors par la formule de Parseval on a :

M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}

Cette formule prouve la première assertion.

Si $f\in H^{2}(mathbb{D})$ , la formule précédente montre que $M_{2}(f,.)$ est une fonction croissante, bornée donc $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}$ existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à $\vert \vert f\vert \vert _{2}$ . Réciproquement si $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }$ , pour chaque $N\geq 0$ , on a par croissance de $M_{2}(f,r)$ :

\sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}

En passant à la limite quand $r$ tend vers $1^{-}$ puis quand $N$ tend vers $+\infty$ on obtient la deuxième assertion.

Quelques propriétés de l'espace $H^{2}(\mathbb {D} )$

L'espace de Hardy $H^{2}(\mathbb {D} )$ est isomorphiquement isométrique (en tant qu'espace vectoriel) à $\ell _{2}$ . C'est donc un espace de Hilbert.

Démonstration

On considère l'application $T:H^{2}(\mathbb {D} )\rightarrow \ell _{2}$ définie par $T(f)=({\hat {f}}(n))$ . Celle-ci est bien définie par définition de $H^{2}(\mathbb {D} )$ , elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.

Soit $(a_{n})\in \ell _{2}$ , $(a_{n})$ est bornée donc la série entière f définie par $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier $f\in Hol(\mathbb {D} )$ et $T(f)=(a_{n})$ . T est donc bien surjective.

Pour tout $f\in H^{2}(\mathbb {D} )$ et pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ on a :

\vert f(z)\vert \leq {\frac {\vert \vert f\vert \vert _{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}

Démonstration

On va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de $f$ en 0, on a alors pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ :

\vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \vert \vert f\vert \vert _{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}

={\frac {\vert \vert f\vert \vert _{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}\;\;\;\;\;

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation $f\rightarrow f(z)$ de $H^{2}(\mathbb {D} )$ dans $\mathbb {C}$ est continue pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ et sa norme est plus petite que :

{\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}

En fait on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

La topologie faible de la boule unité de $H^{2}(\mathbb {D} )$ coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés proviennent sont alors des conséquences directes de cette dernière.

Soit $(f_{n})$ une suite d'éléments de $H^{2}(\mathbb {D} )$ qui converge en norme vers $f$ alors $(f_{n})$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb {D}$ vers $f$ .

Soit $(f_{n})$ une suite d'éléments de $H^{2}(\mathbb {D} )$ incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de $\mathbb {D}$ .

Le cas général

Définition

Pour $0<p<+\infty$ on définit l'espace de Hardy $H^{p}(\mathbb {D} )$ comme étant l'espace des fonctions analytiques $f$ sur le disque unité telles que :

\sup _{0<r<1}(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})<+\infty

On définit alors :

\vert \vert f\vert \vert _{p}=\sup _{0<r<1}{(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})}^{\frac {1}{p}}

Quelques propriétés

Pour $p\geq 1$ , $H^{p}(\mathbb {D} )$ est un espace de Banach.
Soit $f\in H^{p}(\mathbb {D} )$ pour $p\geq 1$ . Alors pour presque tout $t$ (au sens de la mesure de Lebesgue) :

f^{*}(e^{it}):=\lim _{r\rightarrow 1-}f_{r}(e^{it})

existe et l'application $f\rightarrow f^{*}$ est une isométrie de $H^{p}(\mathbb {D} )$ sur le sous-espace $H_{*}^{p}$ de $L^{p}([0,2\pi ],{\frac {dt}{2\pi }})$ où :