Utilisateur:Ohper/bacasable

Noyau de Poisson

Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle de ${\frac {1+z}{1-z}}$

Le noyau de Poisson $P_{r}$ est un noyau sommable, c’est-à-dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

1. $\int _{\mathbb {T} }P_{r}(e^{i\theta }){\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}=1$
2. $\int _{\mathbb {T} }|P_{r}(e^{i\theta })|{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}<\infty$
3. $\forall \delta \in ]0,\pi [\qquad \int _{\delta <|z|<\pi }P_{r}(e^{i\theta }){\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\to 0$ lorsque $r\to 1$

De plus, $P_{r}(e^{i\theta })=P(z)$ est une fonction harmonique. On peut montrer que tout noyau sommable $K_{n}$, vérifie la règle suivante :

$\forall \epsilon >0,\exists N,n>N\Rightarrow ||K_{n}*f-f||_{p}<\epsilon$ dès que $f\in L^{p}$ et $1\leq p<\infty$.

Ainsi, si $f\in L^{p}(\mathbb {T} )$, on a $\Delta (P_{r}*f)=(\Delta P_{r})*f=0$ et $h=p*f$ est une fonction harmonique dans le disque unité $\mathbb {D}$. La question à se poser est alors de savoir si la réciproque de ce résultat est vraie. Notamment, étant donné une fonction harmonique $h$, est-il toujours possible de trouver une fonction $f$ telle que $h=p*f$ ? jiojiojio